Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

80 Champ gravitationnel à symétrie sphérique (métrique de Schwarzschild)
Il s’agit-là de l’avance du périastre au bout d’une orbite. Comme la période orbitale de
Mercure est de 88 jours, l’effet cumulé au bout d’un siècle est
∆ϕper = 43 ′′ . (3.148)
Pour des systèmes beaucoup plus relativistes comme les pulsars binaires, on a (Will
(2006) [40])
δϕper(PSR B1913+16) = 4.2 ◦ /an (3.149)
δϕper(PSR J0737-3039) = 16.9 ◦ /an. (3.150)
Remarque : Dans cette section sur le mouvement des particules matérielles autour d’un
corps central, nous n’avons parlé à aucun moment de force gravitationnelle : ce
concept n’existe pas en relativité générale. Toutes les propriétés ont été dérivées à
partir des géodésiques du genre temps de la métrique de Schwarzschild. En particulier,
nous avons retrouvé les ellipses képleriennes, non à partir de la loi de Newton,
mais comme des géodésiques de la métrique de Schwarzschild lorsque r ≫ GM/c 2 .
3.6 Trajectoires des photons
Intéressons-nous à présent aux géodésiques lumière de la métrique de Schwarzschild.
Nous avons déjà traité le cas des géodésiques lumières radiales au § 3.3. Passons à présent
au cas général.
3.6.1 Potentiel effectif
Le raisonnement est tout à fait similaire à celui effectué pour les géodésiques du genre
temps au § 3.5. Si l’on désigne par p la 4-impulsion du photon, les symétries de la métrique
de Schwarzschild impliquent que la trajectoire d’un photon reste dans un plan, que l’on
choisit être θ = π/2, et que les quantités suivantes
ε := −c ξ(0) · p (3.151)
ℓ := ξ(z) · p (3.152)
sont conservées le long de la géodésique décrite par le photon. Si le photon atteint la
région asymptotique (r ≫ RS), ε et ℓ s’interprètent comme respectivement l’énergie et le
moment cinétique du photon mesurés par un observateur statique. On déduit des quantités
conservées les trois composantes suivantes de la 4-impulsion par rapport aux coordonnées
de Schwarzschild :
p 0 =
1 − RS
−1 ε
r c
(3.153)
p θ = 0 (3.154)
p ϕ = ℓ
. (3.155)
r2