Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

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78 Champ gravitationnel à symétrie sphérique (métrique de Schwarzschild) où r∗ désigne rper ou rapo. Les valeurs de rper et rapo s’obtiennent donc comme les racines de l’équation du troisième ordre ci-dessus. Établissons à présent l’équation de l’orbite, sous la forme d’une équation différentielle pour la fonction ϕ(r). On tire de (3.96) que dr ε2 = ± dτ c2 − c2 − 2Veff = ±c ε2 − c4 1 − RS 1 + r ¯ ℓ2 R2 S r2 , (3.134) où, pour obtenir la deuxième égalité, nous avons utilisé la forme (3.103) pour Veff(r). Par ailleurs, dϕ/dτ est donné par (3.89) avec sin θ = 1 : dϕ dτ ℓ = . (3.135) r2 En combinant (3.134) et (3.135), on élimine τ (dϕ/dr = dϕ/dτ × dτ/dr) et on obtient l’équation cherchée : dϕ dr ℓ = ± c r2 2 ε − 1 − c4 RS 1 + r ¯ ℓ 2 R2 S r2 −1/2 . (3.136) Examinons la limite newtonienne de cette équation. À cette fin, utilisons (3.98) pour exprimer ε en fonction de la quantité E0 qui tend vers l’énergie mécanique newtonienne. Il vient dϕ ℓ = ± dr r2 2 + E0 mc2 E0 2GM + m r − 1 − RS 2 ℓ r r2 −1/2 . (3.137) Cette équation reste tout à fait générale : ce n’est qu’une réécriture de (3.136) qui fait apparaître E0 à la place de ε et où l’on a remplacé un terme RS par 2GM/c2 , ainsi que ¯ℓRS par ℓ/c. Nous sommes maintenant en mesure de prendre la limite newtonienne : elle consiste à faire E0/(mc2 ) ≪ 1 et RS/r ≪ 1. Il vient ainsi dϕ dr = ± ℓ r 2 2 E0 2GM + m r ℓ2 − r2 −1/2 En posant u = 1/r, cette équation devient dϕ du ℓ (lim. newtonienne). (3.138) = ∓ 2 E0 m + 2GMu − ℓ2u 2 . (3.139) Par un changement de variable affine u ′ = au+b, l’Eq. (3.139) s’intègre en ϕ = arccos u ′ + ϕ0, de sorte qu’il vient u = 1 r où p et e sont les fonctions suivantes de E0 et ℓ : p = ℓ2 GM et e = 1 + 1 = (1 + e cos ϕ), (3.140) p 2E0ℓ2 G2 . (3.141) M 2
3.5 Orbites des corps matériels 79 On reconnaît dans (3.140)-(3.141) l’équation de l’ellipse keplerienne. Tout comme pour les orbites circulaires discutées au § 3.5.3, nous retrouvons donc la bonne limite newtonienne dans le cas des orbites liées générales. Cela confirme l’interprétation du paramètre M de la métrique de Schwarzschild comme la masse du corps central. 3.5.6 Avance du périastre Dans le cas relativiste, les orbites ne sont plus des ellipses. Mais elles pourraient rester des courbes fermées. Pour le savoir, il faut intégrer l’Eq. (3.136) entre deux passages successifs au périastre (r = rper). Si la variation ∆ϕ de ϕ ainsi obtenue est exactement égale à 2π, l’orbite est fermée. Sinon, il y a avance du périastre, dont l’amplitude est donnée par δϕper := ∆ϕ − 2π. (3.142) En intégrant (3.136), en tenant compte de ce que dϕ/dr > 0 lorsque r croît de rper à rapo et dϕ/dr < 0 lorsque r décroît de rapo à rper, on obtient ∆ϕ = ℓ rapo c rper − ℓ c rper rapo 1 r2 2 ε 1 r 2 − c4 ε 2 − c4 1 − RS r 1 − RS r On a en fait deux fois la même intégrale, si bien que δϕper = 2ℓ c rapo rper 1 + ¯ ℓ 2 R2 S r 2 1 + ¯ ℓ 2 R2 S r 2 −1/2 −1/2 dr dr. (3.143) 1 r2 2 ε − 1 − c4 RS 1 + r ¯ ℓ 2 R2 S r2 −1/2 dr − 2π. (3.144) On peut montrer qu’en dehors de la limite newtonienne, δϕper n’est jamais nul. En particulier, pour des orbites faiblement relativistes (développement au premier ordre en RS/r), on obtient, après quelques calculs que nous ne détaillerons pas ici, δϕper = 6π 2 GM . (3.145) cℓ En utilisant la valeur newtonienne de ℓ donnée par (3.141), ℓ 2 = GMp avec p = a(1 − e 2 ), a = demi grand axe de l’ellipse, e = excentricité de l’ellipse, il vient δϕper = 6π GM c 2 a(1 − e 2 ) . (3.146) Le tout premier test de la relativité générale a été basé sur cette formule, puisqu’il s’agit de l’avance du périastre (périhélie) de la planète Mercure autour du Soleil. Les paramètres dans ce cas sont M = 1 M⊙ = 1.989×10 30 kg, a = 5.79×10 10 m et e = 0.206, de sorte que l’on obtient δϕper = 5.0 × 10 −7 rad. (3.147)
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