Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris
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78 Champ gravitationnel à symétrie sphérique (métrique <strong>de</strong> Schwarzschild)<br />
où r∗ désigne rper ou rapo. Les valeurs <strong>de</strong> rper et rapo s’obtiennent donc comme les racines<br />
<strong>de</strong> l’équation du troisième ordre ci-<strong>de</strong>ssus.<br />
Établissons à présent l’équation <strong>de</strong> l’orbite, sous la forme d’une équation différentielle<br />
pour la fonction ϕ(r). On tire <strong>de</strong> (3.96) que<br />
<br />
dr ε2 = ±<br />
dτ c2 − c2 <br />
− 2Veff = ±c<br />
ε2 −<br />
c4 <br />
1 − RS<br />
<br />
1 +<br />
r<br />
¯ ℓ2 R2 S<br />
r2 <br />
, (3.134)<br />
où, pour obtenir la <strong>de</strong>uxième égalité, nous avons utilisé la forme (3.103) pour Veff(r). Par<br />
ailleurs, dϕ/dτ est donné par (3.89) avec sin θ = 1 :<br />
dϕ<br />
dτ<br />
ℓ<br />
= . (3.135)<br />
r2 En combinant (3.134) et (3.135), on élimine τ (dϕ/dr = dϕ/dτ × dτ/dr) et on obtient<br />
l’équation cherchée :<br />
dϕ<br />
dr<br />
ℓ<br />
= ±<br />
c r2 2 ε<br />
− 1 −<br />
c4 RS<br />
<br />
1 +<br />
r<br />
¯ ℓ 2 R2 S<br />
r2 −1/2 . (3.136)<br />
Examinons la limite newtonienne <strong>de</strong> cette équation. À cette fin, utilisons (3.98) pour<br />
exprimer ε en fonction <strong>de</strong> la quantité E0 qui tend vers l’énergie mécanique newtonienne.<br />
Il vient<br />
dϕ ℓ<br />
= ±<br />
dr r2 <br />
2 + E0<br />
mc2 <br />
E0 2GM<br />
+<br />
m r −<br />
<br />
1 − RS<br />
2 ℓ<br />
r r2 −1/2 . (3.137)<br />
Cette équation reste tout à fait générale : ce n’est qu’une réécriture <strong>de</strong> (3.136) qui fait<br />
apparaître E0 à la place <strong>de</strong> ε et où l’on a remplacé un terme RS par 2GM/c2 , ainsi que<br />
¯ℓRS par ℓ/c. Nous sommes maintenant en mesure <strong>de</strong> prendre la limite newtonienne : elle<br />
consiste à faire E0/(mc2 ) ≪ 1 et RS/r ≪ 1. Il vient ainsi<br />
dϕ<br />
dr<br />
= ± ℓ<br />
r 2<br />
<br />
2 E0 2GM<br />
+<br />
m r<br />
ℓ2<br />
−<br />
r2 −1/2 En posant u = 1/r, cette équation <strong>de</strong>vient<br />
dϕ<br />
du<br />
ℓ<br />
(lim. newtonienne). (3.138)<br />
= ∓<br />
2 E0<br />
m + 2GMu − ℓ2u 2<br />
. (3.139)<br />
Par un changement <strong>de</strong> variable affine u ′ = au+b, l’Eq. (3.139) s’intègre en ϕ = arccos u ′ +<br />
ϕ0, <strong>de</strong> sorte qu’il vient<br />
u = 1<br />
r<br />
où p et e sont les fonctions suivantes <strong>de</strong> E0 et ℓ :<br />
p = ℓ2<br />
GM<br />
et<br />
<br />
e = 1 +<br />
1<br />
= (1 + e cos ϕ), (3.140)<br />
p<br />
2E0ℓ2 G2 . (3.141)<br />
M 2