Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris
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76 Champ gravitationnel à symétrie sphérique (métrique de Schwarzschild) ou encore ℓ ε 1 RS r = 1 − c 2 RS −1 . (3.125) r C’est la valeur du rapport ℓ/ε cherchée, que l’on peut reporter dans (3.115) pour obtenir l’expression très simple RS Ω = c , 2r3 (3.126) c’est-à-dire, en exprimant RS en fonction de M [Eq. (3.10)], GM Ω = r3 . (3.127) Ce résultat a de quoi surprendre : on obtient exactement la même formule que dans le cas newtonien ! Tous les termes relativistes, en RS/r, se sont simplifiés en cours de calcul. Il s’agit en fait d’une coïncidence, sans sens physique particulier. N’oublions pas en effet que r n’est qu’une coordonnée sur l’espace-temps E . Si on utilise plutôt la coordonnée isotrope ¯r introduite au § 3.2.5, la formule devient [cf. Eq. (3.15)] GM Ω = ¯r 3 1 + Rs −3 , (3.128) 4¯r et contient donc clairement une correction relativiste en Rs/¯r. Le résultat (3.127) justifie l’interprétation du paramètre M de la métrique de Schwarzschild comme la masse du corps central : dans la région asymptotique, pour r ≫ RS, la coordonnée r s’interprète comme la distance physique au corps central et la loi (3.127) n’est autre que la loi keplerienne du mouvement orbital circulaire newtonien autour d’un objet sphérique de masse M. 3.5.4 Dernière orbite circulaire stable Nous avons vu ci-dessus que les orbites circulaires stables n’existent que pour |ℓ| > ℓcrit : en dessous de ℓcrit le potentiel effectif Veff(r) n’admet en effet pas de minimum (cf. Fig. 3.6). Comme r est une fonction croissante de ℓ pour les orbites circulaires [cf. Eq. (3.109)], on en déduit l’existence d’une orbite de plus petit r correspondant à |ℓ| = ℓcrit. Nous l’appellerons dernière orbite circulaire stable ou encore ISCO, des initiales de l’anglais innermost stable circular orbit. La valeur de la coordonnée de Schwarzschild r de cette orbite est obtenue en injectant la valeur (3.106) de ¯ ℓcrit dans (3.109) : rISCO = 3RS = 6GM c 2 . (3.129) Pour des objets non compacts, on a 3RS ≪ R où R est le rayon de l’objet, si bien que l’ISCO n’existe pas. La vitesse angulaire orbitale à l’ISCO s’obtient en reportant rISCO dans (3.127) : ΩISCO = 1 6 3/2 c3 , (3.130) GM
V eff / c 2 0.03 0.02 0.01 0 -0.01 -0.02 -0.03 -0.04 3.5 Orbites des corps matériels 77 2 4 6 8 10 12 14 r r / R r per S apo Fig. 3.7 – Potentiel effectif défini par l’Eq. (3.97) dans le cas où le “moment cinétique” par unité de masse ℓ de la particule vaut ℓ = 4.2 GM/c. Le segment de droite horizontal correspond à une valeur de ε telle que ε < c 2 , ce qui assure une orbite liée, avec des valeurs de r oscillant entre rper (périastre) et rapo (apoastre). ce qui correspond à la fréquence orbitale suivante 3.5.5 Autres orbites fISCO = ΩISCO 2π = 2.20 1 M⊙ M kHz. (3.131) Reprenons les considérations sur l’équation (3.96), en ne supposant plus les orbites circulaires. On constate ainsi qu’il existe des orbites liées pour |ℓ| > ℓcrit et ε < c 2 , (3.132) la première condition assurant que le potentiel effectif Veff(r) a une forme de puits (cf. Fig. 3.6) et la deuxième que la particule reste piégée dans ce puits, en rendant négatif le membre de droite de (3.96). La position radiale de la particule oscille alors entre deux valeurs de r, rper (périastre) et rapo (apoastre) vérifiant rper ≤ rapo (cf. Fig. 3.7). rper et rapo s’obtiennent en effectuant dr/dτ = 0 dans (3.96). De manière similaire à (3.117), on obtient ε2 = 1 − c4 RS r∗ 1 + ¯ ℓ 2 RS r∗ 2 , (3.133)
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V eff / c 2<br />
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0.02<br />
0.01<br />
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3.5 Orbites <strong>de</strong>s corps matériels 77<br />
2 4 6 8 10 12 14<br />
r r / R r<br />
per<br />
S<br />
apo<br />
Fig. 3.7 – Potentiel effectif défini par l’Eq. (3.97) dans le cas où le “moment cinétique” par unité <strong>de</strong><br />
masse ℓ <strong>de</strong> la particule vaut ℓ = 4.2 GM/c. Le segment <strong>de</strong> droite horizontal correspond à une valeur <strong>de</strong> ε<br />
telle que ε < c 2 , ce qui assure une orbite liée, avec <strong>de</strong>s valeurs <strong>de</strong> r oscillant entre rper (périastre) et rapo<br />
(apoastre).<br />
ce qui correspond à la fréquence orbitale suivante<br />
3.5.5 Autres orbites<br />
fISCO = ΩISCO<br />
2π<br />
= 2.20<br />
<br />
1 M⊙<br />
M<br />
kHz. (3.131)<br />
Reprenons les considérations sur l’équation (3.96), en ne supposant plus les orbites<br />
circulaires. On constate ainsi qu’il existe <strong>de</strong>s orbites liées pour<br />
|ℓ| > ℓcrit et ε < c 2 , (3.132)<br />
la première condition assurant que le potentiel effectif Veff(r) a une forme <strong>de</strong> puits (cf.<br />
Fig. 3.6) et la <strong>de</strong>uxième que la particule reste piégée dans ce puits, en rendant négatif<br />
le membre <strong>de</strong> droite <strong>de</strong> (3.96). La position radiale <strong>de</strong> la particule oscille alors entre <strong>de</strong>ux<br />
valeurs <strong>de</strong> r, rper (périastre) et rapo (apoastre) vérifiant rper ≤ rapo (cf. Fig. 3.7). rper et<br />
rapo s’obtiennent en effectuant dr/dτ = 0 dans (3.96). De manière similaire à (3.117), on<br />
obtient<br />
ε2 <br />
= 1 −<br />
c4 RS<br />
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1 + ¯ ℓ 2<br />
RS<br />
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