Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

More documents

Recommendations

Info

76 Champ gravitationnel à symétrie sphérique (métrique de Schwarzschild) ou encore ℓ ε 1 RS r = 1 − c 2 RS −1 . (3.125) r C’est la valeur du rapport ℓ/ε cherchée, que l’on peut reporter dans (3.115) pour obtenir l’expression très simple RS Ω = c , 2r3 (3.126) c’est-à-dire, en exprimant RS en fonction de M [Eq. (3.10)], GM Ω = r3 . (3.127) Ce résultat a de quoi surprendre : on obtient exactement la même formule que dans le cas newtonien ! Tous les termes relativistes, en RS/r, se sont simplifiés en cours de calcul. Il s’agit en fait d’une coïncidence, sans sens physique particulier. N’oublions pas en effet que r n’est qu’une coordonnée sur l’espace-temps E . Si on utilise plutôt la coordonnée isotrope ¯r introduite au § 3.2.5, la formule devient [cf. Eq. (3.15)] GM Ω = ¯r 3 1 + Rs −3 , (3.128) 4¯r et contient donc clairement une correction relativiste en Rs/¯r. Le résultat (3.127) justifie l’interprétation du paramètre M de la métrique de Schwarzschild comme la masse du corps central : dans la région asymptotique, pour r ≫ RS, la coordonnée r s’interprète comme la distance physique au corps central et la loi (3.127) n’est autre que la loi keplerienne du mouvement orbital circulaire newtonien autour d’un objet sphérique de masse M. 3.5.4 Dernière orbite circulaire stable Nous avons vu ci-dessus que les orbites circulaires stables n’existent que pour |ℓ| > ℓcrit : en dessous de ℓcrit le potentiel effectif Veff(r) n’admet en effet pas de minimum (cf. Fig. 3.6). Comme r est une fonction croissante de ℓ pour les orbites circulaires [cf. Eq. (3.109)], on en déduit l’existence d’une orbite de plus petit r correspondant à |ℓ| = ℓcrit. Nous l’appellerons dernière orbite circulaire stable ou encore ISCO, des initiales de l’anglais innermost stable circular orbit. La valeur de la coordonnée de Schwarzschild r de cette orbite est obtenue en injectant la valeur (3.106) de ¯ ℓcrit dans (3.109) : rISCO = 3RS = 6GM c 2 . (3.129) Pour des objets non compacts, on a 3RS ≪ R où R est le rayon de l’objet, si bien que l’ISCO n’existe pas. La vitesse angulaire orbitale à l’ISCO s’obtient en reportant rISCO dans (3.127) : ΩISCO = 1 6 3/2 c3 , (3.130) GM
V eff / c 2 0.03 0.02 0.01 0 -0.01 -0.02 -0.03 -0.04 3.5 Orbites des corps matériels 77 2 4 6 8 10 12 14 r r / R r per S apo Fig. 3.7 – Potentiel effectif défini par l’Eq. (3.97) dans le cas où le “moment cinétique” par unité de masse ℓ de la particule vaut ℓ = 4.2 GM/c. Le segment de droite horizontal correspond à une valeur de ε telle que ε < c 2 , ce qui assure une orbite liée, avec des valeurs de r oscillant entre rper (périastre) et rapo (apoastre). ce qui correspond à la fréquence orbitale suivante 3.5.5 Autres orbites fISCO = ΩISCO 2π = 2.20 1 M⊙ M kHz. (3.131) Reprenons les considérations sur l’équation (3.96), en ne supposant plus les orbites circulaires. On constate ainsi qu’il existe des orbites liées pour |ℓ| > ℓcrit et ε < c 2 , (3.132) la première condition assurant que le potentiel effectif Veff(r) a une forme de puits (cf. Fig. 3.6) et la deuxième que la particule reste piégée dans ce puits, en rendant négatif le membre de droite de (3.96). La position radiale de la particule oscille alors entre deux valeurs de r, rper (périastre) et rapo (apoastre) vérifiant rper ≤ rapo (cf. Fig. 3.7). rper et rapo s’obtiennent en effectuant dr/dτ = 0 dans (3.96). De manière similaire à (3.117), on obtient ε2 = 1 − c4 RS r∗ 1 + ¯ ℓ 2 RS r∗ 2 , (3.133)
Page 1:
Observatoire de Paris, Universités
Page 4 and 5:
4 TABLE DES MATIÈRES 2.6.2 Équati
Page 6 and 7:
6 TABLE DES MATIÈRES 6.4.1 Équati
Page 8 and 9:
8 TABLE DES MATIÈRES
Page 10 and 11:
10 Introduction purement newtonienn
Page 12 and 13:
12 Introduction
Page 14 and 15:
14 Cadre géométrique Fig. 2.1 - V
Page 16 and 17:
16 Cadre géométrique 2.2.3 Courbe
Page 18 and 19:
18 Cadre géométrique Fig. 2.4 - E
Page 20 and 21:
20 Cadre géométrique x e x z e z
Page 22 and 23:
22 Cadre géométrique Remarque : L
Page 24 and 25:
24 Cadre géométrique • de signa
Page 26 and 27: 26 Cadre géométrique 2.3.3 Bases
Page 28 and 29: 28 Cadre géométrique Fig. 2.6 - 4
Page 30 and 31: 30 Cadre géométrique que l’on d
Page 32 and 33: 32 Cadre géométrique de signature
Page 34 and 35: 34 Cadre géométrique Fig. 2.10 -
Page 36 and 37: 36 Cadre géométrique Rappelons qu
Page 40 and 41: 40 Cadre géométrique t 2 t’ 2 t
Page 46 and 47: 46 Cadre géométrique Les lignes d
Page 48 and 49: 48 Cadre géométrique où x0 0, x1
Page 50 and 51: 50 Cadre géométrique
Page 52 and 53: 52 Champ gravitationnel à symétri
Page 90 and 91: 90 Équation d’Einstein 4.2 Déri
Page 92 and 93: 92 Équation d’Einstein 4.2.2 Dé
Page 94 and 95: 94 Équation d’Einstein Remarque
Page 96 and 97: 96 Équation d’Einstein formes li
Page 98 and 99: 98 Équation d’Einstein les géod
Page 100 and 101: 100 Équation d’Einstein On dit a
Page 102 and 103: 102 Équation d’Einstein Si on ut
Page 104 and 105: 104 Équation d’Einstein Fig. 4.2
Page 106 and 107: 106 Équation d’Einstein 4.3.2 Pr
Page 108 and 109: 108 Équation d’Einstein • La c
Page 110 and 111: 110 Équation d’Einstein On retro
Page 112 and 113: 112 Équation d’Einstein On peut
Page 114 and 115: 114 Équation d’Einstein où K es
Page 116 and 117: 116 Équation d’Einstein l’Eq.
Page 118 and 119: 118 Équation d’Einstein
Page 120 and 121: 120 Trous noirs Laplace à la fin d
Page 122 and 123: 122 Trous noirs Fig. 5.1 - Espace-t
Page 124 and 125: 124 Trous noirs La première soluti
Page 126 and 127:
126 Trous noirs Fig. 5.3 - Diagramm
Page 128 and 129:
128 Trous noirs 5.5.2 Théorème d
Page 130 and 131:
130 Trous noirs Fig. 5.4. Il est à
Page 132 and 133:
132 Trous noirs Fig. 5.5 - Satellit
Page 134 and 135:
134 Trous noirs On retombe donc dan
Page 136 and 137:
136 Trous noirs
Page 138 and 139:
138 Ondes gravitationnelles Fig. 6.
Page 140 and 141:
140 Ondes gravitationnelles Ainsi,
Page 142 and 143:
142 Ondes gravitationnelles où l
Page 144 and 145:
144 Ondes gravitationnelles On peut
Page 146 and 147:
146 Ondes gravitationnelles Chercho
Page 148 and 149:
148 Ondes gravitationnelles coordon
Page 150 and 151:
150 Ondes gravitationnelles Fig. 6.
Page 152 and 153:
152 Ondes gravitationnelles Remarqu
Page 154 and 155:
154 Ondes gravitationnelles Puisque
Page 156 and 157:
156 Ondes gravitationnelles On reco
Page 158 and 159:
158 Ondes gravitationnelles Si M es
Page 160 and 161:
160 Ondes gravitationnelles
Page 162 and 163:
162 Solutions cosmologiques 7.2 Sol
Page 164 and 165:
164 Solutions cosmologiques dans l
Page 166 and 167:
166 Relativité et GPS Fig. A.1 - C
Page 168 and 169:
168 Relativité et GPS donné par g
Page 170 and 171:
170 Relativité et GPS où la const
Page 172 and 173:
172 Relativité et GPS Il vient alo
Page 174 and 175:
174 Relativité et GPS
Page 176 and 177:
176 Problèmes l’ordre de grandeu
Page 178 and 179:
178 Problèmes avec v 2 1 := v1 ·
Page 180 and 181:
180 Problèmes B.4 Observateur acc
Page 182 and 183:
182 Problèmes sorte que l’inters
Page 184 and 185:
184 Problèmes 3.8 Calculer les sym
Page 186 and 187:
186 Problèmes B.6 Quadriaccéléra
Page 188 and 189:
188 Problèmes
Page 190 and 191:
190 Solutions des problèmes C.4 Ob
Page 192 and 193:
192 Solutions des problèmes a c t
Page 194 and 195:
194 Solutions des problèmes sont c
Page 196 and 197:
196 Solutions des problèmes − co
Page 198 and 199:
198 Solutions des problèmes d’o
Page 200 and 201:
200 Solutions des problèmes Au vu
Page 202 and 203:
202 Solutions des problèmes qui co
Page 204 and 205:
204 Solutions des problèmes La dé
Page 206 and 207:
206 BIBLIOGRAPHIE [13] N. Straumann
Page 208 and 209:
Index (GCRS), 168 (TAI), 170 (TT),
Page 210:
210 INDEX paramètres affines, 49 p
show all

Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?