Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

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74 Champ gravitationnel à symétrie sphérique (métrique de Schwarzschild) Cette situation est différente du cas newtonien, où dès que ℓ = 0, Veff(r) présente toujours un minimum et pas de maximum (cf. la courbe en pointillés fins sur la Fig. 3.6, dont le minimum est indiqué par un cercle non rempli). La remontée du potentiel newtonien lorsque r → 0 est due au terme ℓ 2 /(2r 2 ), qui domine alors le potentiel gravitationnel −GM/r [cf. Eq. (3.101)] : il s’agit de la barrière centrifuge qui interdit à la particule d’approcher r = 0 lorsque ℓ = 0. Le cas relativiste diffère du cas newtonien par le terme additionnel −GMℓ 2 /(c 2 r 3 ) dans Veff(r) [comparer les Eqs. (3.97) et (3.101)]. Lorsque r → 0, ce terme en 1/r 3 domine le terme centrifuge en 1/r 2 et, étant de signe opposé, provoque Veff(r) → −∞ plutôt que Veff(r) → +∞. 3.5.3 Orbites circulaires Lorsque |ℓ| > ℓcrit, des considérations sur l’Eq. (3.96) tout à fait analogues à celles sur le mouvement potentiel unidimensionnel en mécanique classique font conclure que le point r = rmin est une position d’équilibre stable. Comme il s’agit d’une valeur fixe de r, cela correspond à une orbite circulaire. La valeur de r est reliée à ℓ via l’expression (3.108) de rmin : r = ¯ ℓ 2 1 + 1 − 3 ¯ℓ 2 . (3.109) RS Désignons par Ω la vitesse angulaire orbitale de la particule mesurée par un observateur statique à l’infini. On peut la calculer de la manière suivante. Supposons que la particule émette un photon dans la direction radiale depuis un point de coordonnées (t em 1 , rem = r, π/2, ϕ em 1 = ϕ0) et que ce photon parvienne à un observateur statique distant O en un point de coordonnées (t rec 1 , rrec, π/2, ϕ rec 1 ), avec rrec ≫ r et ϕ rec 1 = ϕ0 (puisque le photon emprunte une géodésique radiale). Supposons que la particule émette un deuxième photon en direction de l’observateur O lorsqu’elle a fait un tour complet sur son orbite : les coordonnées de cet événement sont (t em 2 , rem = r, π/2, ϕ em 2 = ϕ0 + 2π) avec t em 2 = t em 1 + 2π −1 dϕ . (3.110) dt Soit alors (t rec 2 , rrec, π/2, ϕ0) les coordonnées de la réception du photon par O. Nous avons vu au § 3.4.3 qu’en vertu de la stationnarité de l’espace-temps de Schwarzschild, t rec 2 − t rec 1 = t em 2 − t em 1 (3.111) [cf. Eq. (3.73) et Fig. 3.3]. Par ailleurs, puisque l’observateur O est situé dans la région asymptotique, son temps propre est donné par la coordonnée de Schwarzschild t. La vitesse angulaire qu’il mesure en comptant le temps écoulé entre la réception des deux photons est donc Au vu de (3.111), il vient Ω = Ω = 2π t rec 2 − trec 1 2π t em 2 − tem 1 . (3.112) , (3.113)
soit, d’après (3.110), 3.5 Orbites des corps matériels 75 Ω = dϕ dt On peut alors utiliser (3.88) et (3.89) et écrire Ω = dϕ dt = dϕ dτ × dτ dt ℓ = × c2 r2 1 − RS r . (3.114) ε −1 = ℓ 1 − ε RS 2 c . (3.115) r r2 Il s’agit maintenant d’exprimer ℓ/ε en fonction de r. Puisque dr/dτ = 0, on tire de (3.96) d’où, en utilisant l’expression (3.103) de Veff(r) : RS r Veff(r) = ε2 − c 4 2c 2 , (3.116) ε2 ¯ℓ = c4 1 − 2 RS r Or la relation (3.109) entre r et ¯ ℓ conduit à 1 = ¯ℓ 2 1 + 1 − 3 ¯ℓ 2 −1 = 1 ¯ℓ 2 1 − c’est-à-dire RS r 1 ¯ℓ + 2 En prenant le carré de cette relation, il vient 2 RS = r 1 2 1 − 1 − 9 3 ¯ℓ 2 2 RS . (3.117) r 1 − 3 ¯ℓ 2 1 − 1 − 3 ¯ℓ 2 −1 , (3.118) 1 = 1 − 1 − 3 3 ¯ℓ 2 . (3.119) − 3 ¯ℓ 2 , (3.120) soit 2 RS = r 1 2 3 RS 1 − r ¯ℓ 2 , (3.121) d’où l’on tire En reportant cette valeur de ¯ ℓ −2 dans (3.117), il vient soit [cf. (3.102)] 2 1 RS ¯ℓ = 2RS − 3 . (3.122) 2 r r ε2 ¯ℓ = 2c4 2 1 − RS r 2 RS , (3.123) r ε2 c2 = 2 1 − ℓ2 RS r RS 2 , (3.124) r
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