Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris
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74 Champ gravitationnel à symétrie sphérique (métrique <strong>de</strong> Schwarzschild)<br />
Cette situation est différente du cas newtonien, où dès que ℓ = 0, Veff(r) présente<br />
toujours un minimum et pas <strong>de</strong> maximum (cf. la courbe en pointillés fins sur la Fig. 3.6,<br />
dont le minimum est indiqué par un cercle non rempli). La remontée du potentiel newtonien<br />
lorsque r → 0 est due au terme ℓ 2 /(2r 2 ), qui domine alors le potentiel gravitationnel<br />
−GM/r [cf. Eq. (3.101)] : il s’agit <strong>de</strong> la barrière centrifuge qui interdit à la particule<br />
d’approcher r = 0 lorsque ℓ = 0. Le cas relativiste diffère du cas newtonien par le terme<br />
additionnel −GMℓ 2 /(c 2 r 3 ) dans Veff(r) [comparer les Eqs. (3.97) et (3.101)]. Lorsque<br />
r → 0, ce terme en 1/r 3 domine le terme centrifuge en 1/r 2 et, étant <strong>de</strong> signe opposé,<br />
provoque Veff(r) → −∞ plutôt que Veff(r) → +∞.<br />
3.5.3 Orbites circulaires<br />
Lorsque |ℓ| > ℓcrit, <strong>de</strong>s considérations sur l’Eq. (3.96) tout à fait analogues à celles<br />
sur le mouvement potentiel unidimensionnel en mécanique classique font conclure que le<br />
point r = rmin est une position d’équilibre stable. Comme il s’agit d’une valeur fixe <strong>de</strong><br />
r, cela correspond à une orbite circulaire. La valeur <strong>de</strong> r est reliée à ℓ via l’expression<br />
(3.108) <strong>de</strong> rmin :<br />
r<br />
= ¯ ℓ 2<br />
<br />
1 + 1 − 3<br />
¯ℓ 2<br />
<br />
. (3.109)<br />
RS<br />
Désignons par Ω la vitesse angulaire orbitale <strong>de</strong> la particule mesurée par un observateur<br />
statique à l’infini. On peut la calculer <strong>de</strong> la manière suivante. Supposons que la particule<br />
émette un photon dans la direction radiale <strong>de</strong>puis un point <strong>de</strong> coordonnées (t em<br />
1 , rem =<br />
r, π/2, ϕ em<br />
1 = ϕ0) et que ce photon parvienne à un observateur statique distant O en un<br />
point <strong>de</strong> coordonnées (t rec<br />
1 , rrec, π/2, ϕ rec<br />
1 ), avec rrec ≫ r et ϕ rec<br />
1 = ϕ0 (puisque le photon<br />
emprunte une géodésique radiale). Supposons que la particule émette un <strong>de</strong>uxième photon<br />
en direction <strong>de</strong> l’observateur O lorsqu’elle a fait un tour complet sur son orbite : les<br />
coordonnées <strong>de</strong> cet événement sont (t em<br />
2 , rem = r, π/2, ϕ em<br />
2 = ϕ0 + 2π) avec<br />
t em<br />
2 = t em<br />
1 + 2π<br />
−1 dϕ<br />
. (3.110)<br />
dt<br />
Soit alors (t rec<br />
2 , rrec, π/2, ϕ0) les coordonnées <strong>de</strong> la réception du photon par O. Nous avons<br />
vu au § 3.4.3 qu’en vertu <strong>de</strong> la stationnarité <strong>de</strong> l’espace-temps <strong>de</strong> Schwarzschild,<br />
t rec<br />
2 − t rec<br />
1 = t em<br />
2 − t em<br />
1<br />
(3.111)<br />
[cf. Eq. (3.73) et Fig. 3.3]. Par ailleurs, puisque l’observateur O est situé dans la région<br />
asymptotique, son temps propre est donné par la coordonnée <strong>de</strong> Schwarzschild t. La vitesse<br />
angulaire qu’il mesure en comptant le temps écoulé entre la réception <strong>de</strong>s <strong>de</strong>ux photons<br />
est donc<br />
Au vu <strong>de</strong> (3.111), il vient<br />
Ω =<br />
Ω =<br />
2π<br />
t rec<br />
2 − trec 1<br />
2π<br />
t em<br />
2 − tem 1<br />
. (3.112)<br />
, (3.113)