Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris
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V eff / c 2<br />
0.15<br />
0.1<br />
0.05<br />
0<br />
-0.05<br />
-0.1<br />
3.5 Orbites <strong>de</strong>s corps matériels 73<br />
l / M = 5.0 newtonien<br />
l / M = 5.0<br />
l / M = 4.6<br />
l / M = 4.2<br />
l / M = 3.8<br />
l / M = 3.4641<br />
l / M = 3.0<br />
l / M = 2.6<br />
2 4 6 8 10 12 14<br />
r / R S<br />
Fig. 3.6 – Potentiel effectif défini par l’Eq. (3.97) et donnant la partie radiale du mouvement géodésique<br />
d’une particule matérielle dans l’espace-temps <strong>de</strong> Schwarzschild. Les différentes courbes correspon<strong>de</strong>nt<br />
à différentes valeurs du “moment cinétique” par unité <strong>de</strong> masse ℓ <strong>de</strong> la particule, exprimé en unités <strong>de</strong><br />
GM/c. La courbe en traits pointillés fins est celle du cas newtonien pour ℓ = 5GM/c. La courbe en traits<br />
pointillés longs est la courbe du cas critique ℓ = 2 √ 3GM/c 3.4641GM/c. Les cercles pleins marquent<br />
les positions d’équilibre stable pour les orbites circulaires. Le cercle entouré correspond à la <strong>de</strong>rnière<br />
orbite circulaire stable (ISCO) en r = 3RS.<br />
Ce trinôme en r/RS admet <strong>de</strong>s racines si, et seulement si, ¯ ℓ 4 − 3 ¯ ℓ 2 ≥ 0, c’est-à-dire si, et<br />
seulement si, ¯ ℓ 2 ≥ 3, soit<br />
| ¯ ℓ| ≥ ¯ ℓcrit := √ 3. (3.106)<br />
La valeur critique <strong>de</strong> ℓ correspondante est [cf. (3.102)]<br />
ℓcrit = 2 √ 3 GM<br />
c<br />
. (3.107)<br />
Pour |ℓ| > ℓcrit, Veff admet <strong>de</strong>ux extrema, situés en<br />
rmax<br />
= ¯ ℓ 2<br />
<br />
1 − 1 − 3<br />
¯ℓ 2<br />
<br />
et<br />
rmin<br />
= ¯ ℓ 2<br />
<br />
1 + 1 − 3<br />
¯ℓ 2<br />
<br />
. (3.108)<br />
RS<br />
rmax (resp. rmin) correspond à un maximum (resp. minimum) <strong>de</strong> Veff(r) (cf. Fig. 3.6) 4 .<br />
Pour |ℓ| = ℓcrit, ces <strong>de</strong>ux extrema convergent en un point d’inflexion et pour |ℓ| < ℓcrit, il<br />
n’y a aucun extremum : Veff(r) est une fonction strictement croissante.<br />
<strong>de</strong> r.<br />
4 NB : rmax < rmin, les indices ‘max’ et ‘min’ se rapportant aux extrema <strong>de</strong> Veff(r), et non à la valeur<br />
RS