Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

72 Champ gravitationnel à symétrie sphérique (métrique de Schwarzschild)
Rappelons que dans ces formules, les quantités ε et ℓ sont des constantes. L’Eq. (3.96) apparaît
alors tout à fait analogue à l’équation de conservation de l’énergie mécanique d’une
particule non relativiste en mouvement unidimensionnel (variable de position = r) dans
le potentiel Veff(r). Pour cette raison Veff(r) est appelé potentiel effectif du mouvement
géodésique dans la métrique de Schwarzschild.
Examinons la limite newtonienne des équations (3.96) et (3.97). Nous avons vu que ε
s’interprète comme l’énergie de la particule par unité de masse mesurée par un observateur
statique distant du corps central. Écrivons donc
ε =: mc2 + E0
m
= c 2 + E0
, (3.98)
m
Dans le cas relativiste, cela revient à définir E0 comme mε auquel on a retranché l’énergie
de masse au repos mc2 . A la limite newtonienne, E0 n’est autre que l’énergie mécanique
de la particule (somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle gravitationnelle).
On a
ε 2 − c 4
2c 2
E0
=
m
1 + E0
2mc 2
, (3.99)
A la limite newtonienne, E0/(mc2 ) ≪ 1 et le troisième terme du membre de droite de
(3.97) est négligeable devant le deuxième, si bien que l’Eq. (3.96) devient
2 1 dr
+ V
2 dτ
newt
eff (r) = E0
, (3.100)
m
avec
ℓ2
+ . (3.101)
r 2r2 Le temps propre τ coïncide évidemment dans ce cas avec le temps universel newtonien et
on reconnaît dans (3.100)-(3.101) l’équation qui régit la partie radiale de la vitesse dans
le mouvement keplerien autour de la masse M.
Revenons au cas relativiste et étudions le potentiel effectif (3.97). En faisant apparaître
le rayon de Schwarzschild RS = 2GM/c2 et en posant
Veff se met sous la forme
Veff(r) = c2
2
Les extrema de Veff sont donnés par
autrement dit par
dVeff
dr = c2RS 2r2 r
V newt
eff (r) := − GM
RS
¯ℓ := ℓ
2
cRS
= c ℓ
, (3.102)
2GM
− RS
r + ¯ ℓ 2 R2 S
r2 − ¯ ℓ 2 R3 S
r3
. (3.103)
1 − 2¯2 RS
ℓ
r + 3¯ ℓ 2 R2 S
r2
= 0, (3.104)
− 2¯ ℓ 2
r
+ 3
RS
¯ ℓ 2 = 0. (3.105)