Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

3.5 Orbites des corps matériels 71
Les quantités ε et ℓ peuvent être interprétées de la manière suivante : si la particule
atteint une région infiniment éloignée du corps central, alors ξ(0) coïncide avec la 4-vitesse
d’un observateur statique [cf. Eq. (3.50) avec u 0 = 1], si bien que ε est alors l’énergie
par unité de masse de la particule mesurée par cet observateur [cf. Eq. (2.105)]. Par
ailleurs, l’expression (3.89) conduit à ℓ = r sin θ × (r sin θ dϕ/dt) × dt/dτ. Dans la région
asymptotique, si la particule a une vitesse non relativiste (dt/dτ 1), ℓ apparaît ainsi
comme le moment cinétique (par rapport à l’axe des z) par unité de masse.
On peut voir que les quantités conservées associées aux deux autres vecteurs de Killing
ξ(x) et ξ(y) de l’espace-temps de Schwarzschild [cf. Eq. (3.5)] correspondent à la conservation
des deux autres composantes du vecteur moment cinétique, qui sont nulles initialement
par notre choix de coordonnées. Elles sont donc toujours nulles et on retrouve ainsi
le fait que le mouvement orbital a lieu dans le plan z = 0.
3.5.2 Potentiel effectif
Les quantités conservées (3.85), (3.88) et (3.89) permettent d’exprimer 3 des 4 composantes
de la 4-vitesse u de la particule :
u 0
= 1 − RS
−1 ε
r c2 (3.90)
u θ = 0 (3.91)
u ϕ =
ℓ
c r 2 sin 2 θ
ℓ
= , (3.92)
c r2 où l’on a utilisé sin θ = 1 puisque θ = π/2. La 4ème composante est obtenue via la relation
de normalisation u·u = −1. Comme les composantes gαβ du tenseur métrique par rapport
aux coordonnées de Schwarzschild sont diagonales [Eq. (3.6)], il vient
g00(u 0 ) 2 + grr(u r ) 2 + gθθ(u θ ) 2 + gϕϕ(u ϕ ) 2 = −1. (3.93)
En utilisant les valeurs (3.6) de gαβ (avec sin θ = 1), ainsi que les expressions (3.90)-(3.92),
on obtient
− 1 − RS
−1 2 ε
+ 1 −
r c4 RS
−1 (u
r
r ) 2 + ℓ2
c2 = −1.
r2 (3.94)
Étant donné que [cf. Eq. (2.84)]
u r = 1 dr
, (3.95)
c dτ
et RS = 2GM/c 2 [Eq. (3.10)], l’Eq. (3.94) peut être réécrite comme
où l’on a défini
1
2
2 dr
+ Veff(r) =
dτ
ε2 − c4 2c2 , (3.96)
Veff(r) := − GM
r
ℓ2 GMℓ2
+ −
2r2 c2r3 . (3.97)