Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

70 Champ gravitationnel à symétrie sphérique (métrique de Schwarzschild)
3.5 Orbites des corps matériels
Examinons à présent les trajectoires (orbites) des corps de masse m ≪ M autour
du corps central de la métrique de Schwarzschild. Comme nous l’avons vu au § 2.6, ces
trajectoires doivent être des géodésiques du genre temps.
3.5.1 Quantités conservées
Il est facile de voir qu’en raison des symétries de la métrique de Schwarzschild, les
orbites doivent être planes, tout comme en mécanique newtonienne. Considérons en effet
une particule de masse m et de 4-impulsion p = mcu en un point P de sa ligne d’univers
L. Soit (t0, r0, θ0, ϕ0) les coordonnées de Schwarzschild de P . Sans perte de généralité, il
est toujours possible de choisir les coordonnées (θ, ϕ) sur la sphère St0,r0 = {t = t0, r = r0}
telles que θ0 = π/2, ϕ0 = 0 et la projection orthogonale de la 4-vitesse u de la particule
sur la sphère soit parallèle à ∂ϕ : uθ (P ) = 0. Autrement dit le 2-vecteur (uθ , uϕ ) est
parallèle à l’équateur θ = π/2 de la sphère St0,r0. Si la trajectoire ultérieure déviait vers
un des deux hémisphères séparés par cet équateur, cela représenterait une brisure de la
symétrie sphérique. Ainsi la particule doit rester dans le plan
θ = π
(3.84)
2
On en déduit immédiatement que, tout au long de la trajectoire, u θ = c −1 dθ/dτ = 0 :
u θ = 0. (3.85)
Les autres quantités conservées le long de L sont données par la loi de conservation de
ξ · p le long des géodésiques établie au § 3.4.1. Appliquons-la aux vecteurs de Killing
ξ(0) = ∂0 = c −1 ∂t et ξ(z) = ∂ϕ [cf. Eq. (3.41)] associés respectivement à la stationnarité
et à la symétrie azimuthale : les quantités ε et ℓ définies par
ε := − c
m ξ(0) · p = −c 2 ξ(0) · u , (3.86)
ℓ := 1
m ξ(z) · p = c ξ(z) · u (3.87)
sont alors conservées le long de la géodésique L. En terme des composantes de u par rapport
aux coordonnées de Schwarzschild, on a ε = −c 2 gαβ(∂0) α u β = −c 2 g0βu β , soit, puisque
gαβ est diagonale, ε = −c 2 g00u 0 , avec d’après (2.84), u 0 = c −1 dx 0 /dτ = c −1 d(ct)/dτ =
dt/dτ (τ étant le temps propre de la particule). En utilisant la valeur de g00 lue sur (3.6),
il vient
ε = c 2
1 − RS
dt
.
r dτ
(3.88)
De même, ℓ = cgαβ(∂ϕ) α u β = cgϕβu β = cgϕϕu ϕ , avec d’après (2.84), u ϕ = c −1 dϕ/dτ, d’où
puisque gϕϕ = r 2 sin 2 θ [cf. (3.6)],
ℓ = r 2 sin 2 θ dϕ
. (3.89)
dτ