Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

66 Champ gravitationnel à symétrie sphérique (métrique de Schwarzschild)
comparer le temps propre ∆τem mesuré par l’observateur Oem entre deux événements A1
et A2 de sa ligne d’univers au temps propre ∆τrec mesuré par l’observateur Orec entre les
deux événements B1 et B2 de réception des photons émis en A1 et en A2 (cf. Fig. 3.3).
La propriété fondamentale que nous allons utiliser pour relier ∆τrec à ∆τem est la
stationnarité de l’espace-temps de Schwarzschild. C’est d’ailleurs la même propriété que
nous avons utilisée ci-dessus pour obtenir la constance de ξ(0) · p et donc le résultat (3.60).
En effet, si tem 1 (resp. tem 2 ) est la coordonnée de Schwarzschild t de l’événement A1 (resp.
A2) et trec 1 (resp. trec 2 ) la coordonnée de Schwarzschild t de l’événement B1 de réception
du photon émis en A1 (resp. B2 de réception du photon émis en A2), l’invariance de
l’espace-temps par la translation temporelle t ↦→ t + const implique (cf. Fig. 3.3)
t rec
1 = t em
1 + ∆t (3.71)
t rec
2 = t em
2 + ∆t, (3.72)
où la quantité ∆t est la même dans ces deux équations. Autrement dit,
t rec
2 − t rec
1 = t em
2 − t em
1 . (3.73)
L’intervalle de temps propre mesuré par Oem entre les événements A1 et A2 est [cf.
Eq. (2.83)]
∆τem = 1
c
A2
A1
−g( −→
dP , −→
dP ) = 1
tem 2
c tem
−g(
1
∂t, ∂t) dt =
t em
2
t em
1
√ −g00 dt. (3.74)
En reportant g00 depuis (3.6), il vient
∆τem = 1 − 2GM
c2 1/2 (t
rem
em
2 − t em
1 ) . (3.75)
De même, l’intervalle de temps propre mesuré par Orec entre les deux événements B1 et
B2 de réception des photons est
∆τrec =
En utilisant (3.73), on conclut que
∆τrec =
1 − 2GM
c2 1/2 (t
rrec
rec
2 − t rec
1 ) . (3.76)
⎛
⎜1
−
⎜
⎝
2GM
c2 rrec
1 − 2GM
c2 ⎞
⎟
⎠
rem
1/2
∆τem . (3.77)
Il s’agit là d’un phénomène de dilatation (ou contraction) des temps au sens suivant : si
∆τem est le temps entre deux tics successifs de l’horloge de Oem et qu’il informe l’observateur
Orec en émettant un signal radio à chaque tic, la suite de tics ainsi perçue par Orec
obéit à la loi (3.77).
Remarque : En écrivant λ = cT dans (3.59), on constate que les périodes T du rayonnement
électromagnétique à l’émission et à la réception obéissent à la même relation
que (3.77).