Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

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64 Champ gravitationnel à symétrie sphérique (métrique de Schwarzschild) Puisque l’énergie des photons est reliée à leur longueur d’onde par E = hc/λ, on en déduit immédiatement la relation entre les longueurs d’ondes mesurées à l’émission et à la réception : ⎛ ⎜1 − λrec = ⎜ ⎝ 2GM c2 rrec 1 − 2GM ⎞ ⎟ ⎠ c 2 rem ou de manière équivalente le décalage spectral 1/2 z := λrec ⎛ − λem ⎜1 − = ⎜ λem ⎝ 2GM c2 rrec 1 − 2GM c2 ⎞ ⎟ ⎠ rem λem, (3.59) 1/2 − 1 . (3.60) Il s’agit-là du décalage spectral gravitationnel ou effet Einstein. Soulignons qu’il s’agit d’un pur effet de relativité générale et non d’un décalage Doppler. Les observateurs Oem et Orec qui mesurent λem et λrec sont en effet statiques par rapport aux coordonnées de Schwarzschild (cf. Fig. 3.2) ; ils ne sont donc pas en mouvement relatif, si bien que la relativité restreinte ne prédirait aucun décalage spectral. Pour l’observation de photons en provenance de sources astrophysiques, on a rem = R (coordonnée de la surface de l’objet) et rrec = +∞, si bien que (3.60) devient z = 1 √ 1 − 2Ξ − 1, (3.61) où l’on a introduit le facteur de compacité (3.13). On constate que z > 0 : l’effet Einstein conduit à un rougissement des spectres des sources astrophysiques observées sur Terre. Pour les corps faiblement relativistes, Ξ ≪ 1 et un développement limité de (3.61) conduit à z Ξ (Ξ ≪ 1). (3.62) Cette formule fournit une nouvelle interprétation du facteur de compacité, en plus de celles données par (3.14) : pour un corps non compact, Ξ n’est autre que le décalage spectral gravitationnel du rayonnement émis depuis la surface de ce corps et reçu à l’infini. Toujours dans le cas où le corps central n’est pas un objet compact, mais en ne supposant plus que l’on émet depuis la surface du corps ou que l’on observe depuis l’infini, on a 2GM 2GM ≪ 1 et ≪ 1, (3.63) c 2 rem c 2 rrec si bien que l’on peut effectuer un développement limité de l’expression (3.60) et obtenir z = GM c2 1 rem − 1 . rrec (3.64) On peut écrire cette formule sous la forme z = 1 c 2 [Φ(rrec) − Φ(rem)] , (3.65)
3.4 Décalage spectral gravitationnel (effet Einstein) 65 Fig. 3.3 – L’espace-temps de Schwarzschild est invariant par translation t ↦→ t+const de la coordonnée t, ce qui résulte en ∆t rec = ∆t em . Par contre, pour les temps propres, ∆τ rec = ∆τ em (effet Einstein), la relation exacte étant donnée par l’Eq. (3.77). où Φ(r) désigne le potentiel gravitationnel newtonien : Si, de plus, Φ(r) = − GM . (3.66) r rem = r0 + hem avec |hem| ≪ r0 (3.67) rrec = r0 + hrec avec |hrec| ≪ r0 (3.68) on peut effectuer un développement limité de (3.64) en hem/r0 et hrec/r0. Il vient ainsi où g(r) désigne le champ gravitationnel newtonien : z = |g(r0)| c 2 (hrec − hem) , (3.69) g(r) = − GM . (3.70) r2 3.4.3 Effet Einstein comme dilatation des temps Nous avons mis en évidence l’effet Einstein à partir de la mesure de la fréquence des photons à l’émission et à la réception. Une autre façon de voir les choses consiste à
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