Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris
Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris
Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
64 Champ gravitationnel à symétrie sphérique (métrique <strong>de</strong> Schwarzschild)<br />
Puisque l’énergie <strong>de</strong>s photons est reliée à leur longueur d’on<strong>de</strong> par E = hc/λ, on en<br />
déduit immédiatement la relation entre les longueurs d’on<strong>de</strong>s mesurées à l’émission et à<br />
la réception :<br />
⎛<br />
⎜1<br />
−<br />
λrec = ⎜<br />
⎝<br />
2GM<br />
c2 rrec<br />
1 − 2GM<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
c 2 rem<br />
ou <strong>de</strong> manière équivalente le décalage spectral<br />
1/2<br />
z := λrec<br />
⎛<br />
− λem ⎜1<br />
−<br />
= ⎜<br />
λem<br />
⎝<br />
2GM<br />
c2 rrec<br />
1 − 2GM<br />
c2 ⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
rem<br />
λem, (3.59)<br />
1/2<br />
− 1 . (3.60)<br />
Il s’agit-là du décalage spectral gravitationnel ou effet Einstein. Soulignons qu’il s’agit<br />
d’un pur effet <strong>de</strong> relativité générale et non d’un décalage Doppler. Les observateurs Oem<br />
et Orec qui mesurent λem et λrec sont en effet statiques par rapport aux coordonnées <strong>de</strong><br />
Schwarzschild (cf. Fig. 3.2) ; ils ne sont donc pas en mouvement relatif, si bien que la<br />
relativité restreinte ne prédirait aucun décalage spectral.<br />
Pour l’observation <strong>de</strong> photons en provenance <strong>de</strong> sources astrophysiques, on a rem = R<br />
(coordonnée <strong>de</strong> la surface <strong>de</strong> l’objet) et rrec = +∞, si bien que (3.60) <strong>de</strong>vient<br />
z =<br />
1<br />
√ 1 − 2Ξ − 1, (3.61)<br />
où l’on a introduit le facteur <strong>de</strong> compacité (3.13). On constate que z > 0 : l’effet Einstein<br />
conduit à un rougissement <strong>de</strong>s spectres <strong>de</strong>s sources astrophysiques observées sur Terre.<br />
Pour les corps faiblement relativistes, Ξ ≪ 1 et un développement limité <strong>de</strong> (3.61) conduit<br />
à<br />
z Ξ (Ξ ≪ 1). (3.62)<br />
Cette formule fournit une nouvelle interprétation du facteur <strong>de</strong> compacité, en plus <strong>de</strong> celles<br />
données par (3.14) : pour un corps non compact, Ξ n’est autre que le décalage spectral<br />
gravitationnel du rayonnement émis <strong>de</strong>puis la surface <strong>de</strong> ce corps et reçu à l’infini.<br />
Toujours dans le cas où le corps central n’est pas un objet compact, mais en ne<br />
supposant plus que l’on émet <strong>de</strong>puis la surface du corps ou que l’on observe <strong>de</strong>puis l’infini,<br />
on a<br />
2GM<br />
2GM<br />
≪ 1 et ≪ 1, (3.63)<br />
c 2 rem<br />
c 2 rrec<br />
si bien que l’on peut effectuer un développement limité <strong>de</strong> l’expression (3.60) et obtenir<br />
z = GM<br />
c2 <br />
1<br />
rem<br />
− 1<br />
<br />
.<br />
rrec<br />
(3.64)<br />
On peut écrire cette formule sous la forme<br />
z = 1<br />
c 2 [Φ(rrec) − Φ(rem)] , (3.65)