Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

3.4 Décalage spectral gravitationnel (effet Einstein) 63
Du point de vue vectoriel, cela signifie que u est parallèle au vecteur de Killing ξ(0),
puisque ce dernier est égal au vecteur ∂0 de la base naturelle associée aux coordonnées
(x α ) :
u = u 0 ξ(0). (3.50)
La relation de normalisation u · u = −1 permet de calculer u0 , puisqu’en utilisant (3.6),
il vient
u · u = gαβ u α u β = g00(u 0 ) 2
= − 1 − 2GM
c2
(u
r
0 ) 2 , (3.51)
d’où
u 0 =
1 − 2GM
c2 −1/2 . (3.52)
r
Considérons à présent un photon émis dans la direction radiale (sortante ou entrante)
par un observateur statique Oem situé en r = rem. Ce photon décrit une géodésique lumière
et est reçu par un observateur statique Orec situé en r = rrec (cf. Fig. 3.2). L’énergie du
photon mesurée par un observateur statique situé à une coordonnée r quelconque est
donnée par la formule (2.105) :
E = −u · p c, (3.53)
où p est la 4-impulsion du photon le long de sa géodésique. En utilisant successivement
(3.50) et (3.52), il vient
E = −u 0 ξ(0) · p c
= −c
1 − 2GM
c 2 r
En particulier, au point d’émission,
Eem = −c 1 − 2GM
c2rem et au point de réception,
Erec = −c
−1/2
−1/2
ξ(0) · p. (3.54)
( ξ(0) · p)em
(3.55)
1 − 2GM
c2 −1/2 (
rrec
ξ(0) · p)rec. (3.56)
Or d’après (3.48), la quantité ξ(0) · p est conservée le long de la géodésique lumière :
( ξ(0) · p)rec = ( ξ(0) · p)em. (3.57)
Les expressions (3.55) et (3.56) conduisent alors à la relation suivante entre l’énergie
mesurée à l’émission et celle mesurée à la réception :
⎛
⎜1
−
Erec = ⎜
⎝
2GM
c2 rem
1 − 2GM
c2 ⎞
⎟
⎠
rrec
1/2
Eem . (3.58)