Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

62 Champ gravitationnel à symétrie sphérique (métrique de Schwarzschild)
Fig. 3.2 – Effet Einstein représenté en coordonnées de Schwarzschild (t, r). La surface de l’objet central
est située en r = R ; les deux lignes verticales sont les lignes d’univers de l’observateur statique qui émet
le photon et de celui qui le reçoit. L’énergie du photon par rapport à un observateur statique est donnée
par le produit scalaire entre la 4-vitesse u de l’observateur et la 4-impulsion p du photon : E = −u · p c.
La quantité ξ · u est donc constante le long de la géodésique L. Si cette dernière est la
ligne d’univers d’une particule de masse m, il en est donc de même de la quantité ξ · p,
où p est la 4-impulsion de la particule, puisque p = mc u et m est une constante. On a
ainsi démontré la propriété importante suivante : si une particule de 4-impulsion p suit
une ligne géodésique, alors
ξ vecteur de Killing =⇒ ξ · p = const. (3.48)
Nous avons établi (3.48) dans le cas d’une géodésique du genre temps. En fait cette
propriété est plus générale : elle s’applique également aux géodésiques lumière, p étant
alors l’impulsion du photon qui décrit la géodésique. Nous admettrons ce dernier résultat.
3.4.2 Effet Einstein
La conservation de ξ · p le long des géodésiques lumière radiales va nous permettre
d’obtenir une des prédictions les plus remarquables de la relativité générale : le décalage
spectral gravitationnel, également connu sous le nom d’effet Einstein.
Considérons une classe d’observateurs statiques par rapport aux coordonnées de Schwarzschild
(x α ) = (ct, r, θ, ϕ), c’est-à-dire des observateurs dont la 4-vitesse u a les composantes
suivantes par rapport aux coordonnées de Schwarzschild :
u α = (u 0 , 0, 0, 0). (3.49)