Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

3.4 Décalage spectral gravitationnel (effet Einstein) 61
Ces symétries correspondent à quatre vecteurs de Killing : ∂t, ∂ϕ et les deux vecteurs
donnés par (3.5). Les vecteurs de Killing ∂t et ∂ϕ sont notés ainsi car ils apparaissent
comme des vecteurs de la base naturelle associée aux coordonnées de Schwarzschild, ou
aux coordonnées isotropes. Donnons-leur un nom qui ne fasse pas appel à un système
de coordonnées particulier, mais évoque seulement qu’il s’agit de vecteurs de Killing de
l’espace-temps (E , g). Posons :
ξ(0) := ∂0 = c −1 ∂t et ξ(z) := ∂ϕ , (3.41)
la notation ξ(z) venant rappeler que ce vecteur de Killing résulte de l’invariance par
rotation autour de l’axe des z ; cette notation complète d’ailleurs celles utilisées dans
(3.5).
La propriété fondamentale que nous allons utiliser à de nombreuses reprises dans ce
chapitre est que toute symétrie de l’espace-temps conduit à des quantités conservées le long
des géodésiques. Plus précisément, si ξ est un vecteur de Killing et si L est une géodésique
du genre temps, de tangente unitaire (4-vitesse) u, la quantité ξ · u est constante le long
de L. Il est facile de l’établir à partir des expressions relatives aux géodésiques obtenues
au Chap. 2. Pour être concret, considérons le vecteur de Killing ξ = ξ(0) = c −1 ∂t. Dire
qu’il s’agit d’un vecteur de Killing revient à dire que les composantes de la métrique sont
indépendantes de la coordonnée t [Eq. (3.1)]. On va raisonner sur le lagrangien L introduit
au § 2.6.2 pour obtenir l’équation des géodésiques via les équations d’Euler-Lagrange. En
injectant la propriété ∂gµν/∂t = 0 dans l’Eq. (2.122), on obtient
∂L 1 1 ∂gµν
= −
∂X 0 2L c ∂t
˙X µ ˙ X ν = 0. (3.42)
En reportant la nullité de ∂L/∂X 0 ainsi obtenue dans l’équation d’Euler-Lagrange (2.119),
il vient
d ∂L
dλ ∂ ˙ X0
= 0. (3.43)
Autrement dit, la quantité
C := − ∂L
∂ ˙ X0 (3.44)
est conservée le long de la géodésique. D’après (2.124) et (2.120), cette quantité s’exprime
selon
C = 1
L g0µ ˙ X µ = g0µ
˙X µ
. (3.45)
−gαβ ˙ X α ˙ X β
Via l’Eq. (2.87), on reconnaît les composantes u µ de la 4-vitesse, si bien que
C = g0µu µ . (3.46)
Par ailleurs ξ · u = gµνu µ ξ ν , avec ξ ν = (1, 0, 0, 0) puisque ξ = ∂0. D’où ξ · u = g0µu µ . En
comparant avec (3.46), on constate que
C = ξ · u. (3.47)