Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

60 Champ gravitationnel à symétrie sphérique (métrique de Schwarzschild)
Ainsi
1 − RS
du 2 =
r
1 − RS
du
r
2 =
−
1 − RS
r
1 − RS
r
1 − RS
c
r
2 dt 2 +
c 2 dt 2 +
c 2 dt 2 −
dr2
1 − RS
r
dr2
1 − RS
r
dr2
1 − RS
r
− 2
du + dr
1 − RS
r
dr
− 2 du dr. (3.36)
= − 1 − RS
du
r
2 − 2 du dr. (3.37)
Le membre de gauche de cette équation n’est autre que la somme des deux premiers termes
de l’élément de longueur ds 2 = gαβ dx α dx β donné par (3.6). On en déduit immédiatement
les composantes du tenseur métrique par rapport aux coordonnées d’Eddington-Finkelstein
sortantes :
g ˜α ˜ β dx ˜α dx ˜ β = −
1 − 2GM
c2
du
r
2 − 2 du dr + r 2 dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 . (3.38)
On peut faire plusieurs remarques sur cette expression :
• contrairement aux composantes gαβ dans les coordonnées de Schwarzschild, ou aux
composantes g ¯α ¯ β dans les coordonnées isotropes, les composantes g ˜α ˜ β ne sont pas
diagonales, puisque gur = 0.
• grr = 0 ; comme ∂r · ∂r = grr, cela signifie que le vecteur ∂r de la base naturelle
associée aux coordonnées (u, r, θ, ϕ) est du genre lumière.
Attention : ce vecteur ∂r n’est pas le même que le vecteur ∂r de la base naturelle
associée aux coordonnées (t, r, θ, ϕ) : en revenant à la définition première (2.14) des
vecteurs d’une base naturelle, on a en effet, pour un champ scalaire f générique,
∂f ∂f
= . (3.39)
∂r u,θ,ϕ ∂r t,θ,ϕ
• s’il l’on fait du = 0, dθ = 0 et dϕ = 0 dans (3.38), on obtient g ˜α ˜ β dx ˜α dx ˜ β = 0 : on
retrouve donc bien que les géodésiques lumière radiales sortantes sont caractérisées
par u = const, θ = const et ϕ = const.
De même, les composantes du tenseur métrique en coordonnées d’Eddington-Finkelstein
entrantes (x ˜α ) = (v, r, θ, ϕ) sont données par
g˜α β˜ dx ˜α dx ˜
β
= − 1 − 2GM
c2
dv
r
2 + 2 dv dr + r 2 dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 . (3.40)
3.4 Décalage spectral gravitationnel (effet Einstein)
3.4.1 Symétries et quantités conservées le long des géodésiques
L’espace-temps (ou plus précisément la partie de l’espace-temps à l’extérieur du corps
central) décrit par la métrique de Schwarzschild est statique et à symétrie sphérique.