Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

Géodésiques lumière entrantes
3.3 Géodésiques lumière radiales 59
Dans ce cas, dr < 0 pour dt > 0, si bien qu’en prenant la racine carrée de (3.25), il
vient
c dt = − dr
1 − 2GM
c2 . (3.30)
r
Le même calcul que ci-dessus conduit alors à
r
ct = −r − RS ln − 1 + const. (3.31)
RS
Pour r ≫ RS, on peut négliger le terme en logarithme dans les Eqs. (3.29) et (3.31),
qui deviennent donc
ct ±r + const. (3.32)
On retrouve ainsi l’équation des rayons lumineux radiaux de l’espace-temps plat.
3.3.2 Coordonnées d’Eddington-Finkelstein
Posons
u :=
r
ct − r − RS ln
v :=
r
ct + r + RS ln
RS
RS
− 1
− 1
(3.33)
(3.34)
Alors, d’après (3.29) et (3.31), la quantité u (resp. v) est constante sur les géodésiques
lumière radiales sortantes (resp. entrantes).
On appelle coordonnées d’Eddington-Finkelstein sortantes
(resp. coordonnées d’Eddington-Finkelstein entrantes) les coordonnées (x ˜α ) = (u, r, θ, ϕ)
(resp. (x ˜α ) = (v, r, θ, ϕ)). Pour obtenir les composantes du tenseur métrique dans ces
coordonnées, on peut utiliser la loi (2.57) de transformation des composantes tensorielles,
mais nous suivrons ici une autre route. On a en effet, en différenciant (3.33),
d’où
1 − RS
du
r
2 =
du = c dt − dr − 1
r dr = c dt −
− 1
RS
r
RS
r
RS
− 1 dr
du = c dt − dr
1 − RS
, (3.35)
r
c dt dr
1 − RS
dr
+
r
2
RS
2
1 − r
1 − RS
c
r
2 dt 2 +
dr2
− 2c dt dr
RS 1 − r
du 2 = c 2 dt 2 − 2