Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

58 Champ gravitationnel à symétrie sphérique (métrique de Schwarzschild)
3.3.1 Recherche des géodésiques lumière radiale
Plaçons nous dans le cadre des coordonnées de Schwarzschild (x α ) = (ct, r, θ, ϕ). Une
géodésique lumière est une géodésique de longueur nulle : on doit donc avoir le long de
celle-ci
ds 2 = gαβ dx α dx β = 0. (3.23)
Par ailleurs, si l’on suppose la géodésique radiale, alors dθ = 0 et dϕ = 0 le long de celle-ci.
En utilisant les composantes (3.6), la condition (3.23) devient donc
c’est-à-dire
−
1 − 2GM
c2
c
r
2 dt 2
+ 1 − 2GM
c2 −1 dr
r
2 = 0, (3.24)
c 2 dt 2 =
Il convient alors de distinguer deux cas :
• les géodésiques sortantes, pour lesquelles dr/dt > 0 ;
• les géodésiques entrantes, pour lesquelles dr/dt < 0.
Géodésiques lumière sortantes
dr2
2GM 1 − c2 2 . (3.25)
r
On est dans le cas où dr > 0 pour dt > 0, si bien qu’en prenant la racine carrée de
(3.25), il vient
dr
c dt =
1 − 2GM
c2 . (3.26)
r
Cette équation s’intègre en
ct =
r
r0
dr ′
1 − 2GM
c 2 r ′
= RS
x
où l’on a posé x := c 2 r/(2GM) = r/RS (x > 1). On a
x
x0
x0
dx ′
, (3.27)
1 − 1/x ′
dx ′
1 − 1/x ′ =
x
x
x0
′
x ′ − 1 dx′ x
x
=
x0
′ − 1 + 1
x ′ dx
− 1
′ x
= 1 +
x0
1
x ′
dx
− 1
′
= x + ln(x − 1) − x0 − ln(x0 − 1), (3.28)
d’où l’équation des géodésiques lumière sortantes :
r
ct = r + RS ln − 1 + const. (3.29)
RS