Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

3.3 Géodésiques lumière radiales 57
où les coordonnées t, θ et ϕ sont les mêmes que pour les coordonnées de Schwarzschild (x α ).
En utilisant la formule (2.57) de transformation des composantes de g lors du changement
de coordonnées (x α ) ↦→ (x ¯α ), on obtient (exercice : le faire)
g ¯α ¯ β dx ¯α dx ¯ β = −
GM 1 − 2c2¯r 1 + GM
2c2 2 c
¯r
2 dt 2
+ 1 + GM
2c2 4 d¯r 2 2
+ ¯r
¯r
dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 .
(3.18)
La partie spatiale de cet élément de longueur est du type
avec Ψ := 1 + GM
2c 2 ¯r et
ds 2 t=const = Ψ 4 dℓ 2
(3.19)
dℓ 2 := d¯r 2 + ¯r 2 dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 . (3.20)
On reconnaît en dℓ 2 l’élément de longueur dans l’espace euclidien R 3 en coordonnées
sphériques. Au vu de l’équation (3.19), on dit que les métriques ds 2 t=const et dℓ 2 sont
conformément reliées, via le facteur conforme Ψ. Elles conduisent aux mêmes angles
entre les vecteurs. Pour cette raison, on appelle les coordonnées (x ¯α ) = (ct, ¯r, θ, ϕ) des
coordonnées isotropes. Asymptotiquement, on a [cf. Eq. (3.15)]
mais au voisinage du rayon de Schwarzschild :
r ∼ ¯r, r → +∞, (3.21)
r ∼ 4¯r, r → RS. (3.22)
Remarque : Il convient d’insister sur un point : à l’extérieur des corps à symétrie
sphérique, les coordonnées de Schwarzschild (t, r, θ, ϕ) ou les coordonnées isotropes
(t, ¯r, θ, ϕ) sont tout aussi valables : les écritures (3.6) et (3.18) donnent les composantes
d’une même métrique g — la métrique de Schwarzschild — mais dans
différents systèmes de coordonnées. En particulier, r n’a pas plus de sens physique
que ¯r : ce ne sont pas des quantités directement mesurables, mais de simples coordonnées
sur la variété d’espace-temps. D’un point de vue purement géométrique,
r donne l’aire (associée au tenseur métrique g) des sphères d’invariance liées à la
symétrie sphérique (sphères {t = const, r = const}) : on voit en effet sur (3.6) que
la métrique induite par g sur ces sphères est ds 2 = r 2 dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 . Leur aire
est par conséquent A = 4πr 2 . Pour cette raison, la coordonnée r est parfois appelée
rayon aréolaire.
3.3 Géodésiques lumière radiales
Déterminons les géodésiques lumière radiales (c’est-à-dire à θ et ϕ fixés) de la métrique
de Schwarzschild. Elles nous conduirons à un nouveau système de coordonnées : les coordonnées
d’Eddington-Finkelstein.