Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

56 Champ gravitationnel à symétrie sphérique (métrique de Schwarzschild)
coord. isotrope r / R S
0.25
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
coord. de Schwarzschild r / RS Fig. 3.1 – Relation entre la coordonnée de Schwarzschild radiale, r, et la coordonnée isotrope radiale,
¯r [cf Eqs. (3.15) et (3.16)].
3.2.4 Théorème de Birkhoff
Le théorème de Birkhoff, que nous admettrons, stipule que la métrique de Schwarzschild
est l’unique solution de l’équation d’Einstein à l’extérieur de tous les corps à
symétrie sphérique, même si le corps central n’est pas statique (par exemple une étoile qui
oscille radialement). Autrement dit, en symétrie sphérique et dans le vide, le champ gravitationnel
est nécessairement statique, même s’il ne l’est pas dans la zone où se trouve la
matière. Le théorème de Birkhoff est l’analogue relativiste du théorème de Gauss, qui dit
que le champ gravitationnel à l’extérieur des corps à symétrie sphérique est indépendant
du temps (même si les corps oscillent) et est fonction seulement de la masse de l’objet
central : g = −GM/r 2 er.
3.2.5 Métrique de Schwarzschild en coordonnées isotropes
Les coordonnées de Schwarzschild (t, r, θ, ϕ) qui donnent lieu à la forme (3.6) des
composantes du tenseur métrique ne sont évidemment pas les seules dans lesquelles on
peut écrire la métrique de Schwarzschild. Effectuons en effet le changement de variable
radiale r → ¯r tel que
r = ¯r 1 + Rs
2 4¯r
, ¯r > RS
. (3.15)
4
Pour ¯r > RS/4 ( ⇐⇒ r > RS), cette relation est inversible et conduit à
¯r = 1
2
r + r(r − RS) − RS
2
La relation entre r et ¯r est représentée sur la Fig. 3.1.
Autrement dit, on considère les coordonnées
, r > RS. (3.16)
(x ¯α ) = (ct, ¯r, θ, ϕ), (3.17)