Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

astre
masse M
[M⊙]
3.2 Métrique de Schwarzschild 55
rayon R
[km]
densité ρ
[kg m −3 ]
paramètre de
compacité Ξ
Terre 3 × 10 −6 6 × 10 3 5 × 10 3 10 −10
Soleil 1 7 × 10 5 10 3 10 −6
naine blanche 0.1 à 1.4 ∼ 10 4 ∼ 10 10 10 −4 à 10 −3
étoile à neutrons 1 à ∼ 3 ∼ 10 ∼ 10 18 ∼ 0.2
trou noir
stellaire
>∼ 3
9
(M = 3 M⊙) 0 0.5
trou noir
massif ∼ 10 9 20 UA 0 0.5
Tab. 3.1 – Caractéristiques moyennes de divers objets astrophysiques et leurs paramètres de compacité
Ξ = GM/(c 2 R) ∼ Rs/R.
gravitationnelle newtonienne du corps central. Rappelons par exemple, que pour une boule
homogène (densité constante), Egrav = −3/5 GM 2 /R.
Les valeurs de Ξ pour différents objets astrophysiques sont regroupées dans le tableau
3.1. Les objets compacts peuvent être définis comme les objets pour lesquels Ξ >
10 −4 : ce sont donc les naines blanches, les étoiles à neutrons et les trous noirs. Ce sont
des corps dont le champ gravitationnel diffèrent notablement du champ gravitationnel
newtonien, l’écart relatif étant Ξ. Si la relativité générale n’est qu’une petite correction
pour les naines blanches (tout au plus Ξ ∼ 10 −3 ), elle est absolument nécessaire pour
décrire les étoiles à neutrons et évidemment les trous noirs.
Remarque : Il convient de ne pas confondre compacité et densité : la compacité varie
comme M/R, alors que la densité varie comme M/R 3 . Ainsi, on peut avoir des corps
très denses et très peu compacts : par exemple, pour le proton, M = 1.66 × 10 −27 kg
et R 1 fm = 10 −15 m, si bien que ρ = M/(4/3 πR 3 ) = 5 × 10 17 kg m −3 , alors que
Ξ = GM/(c 2 R) 10 −39 . Bien que de même densité que les étoiles à neutrons, le
proton n’est absolument pas un corps compact ! Autrement dit, les effets de relativité
générale sont ultra négligeables à l’échelle du proton. Réciproquement, on peut avoir
des corps très compacts et très peu denses : par exemple, pour le trou noir central
de la galaxie M87, de masse M = 3 × 10 9 M⊙ et de rayon R = RS = 2GM/c 2 =
9×10 9 km 60 UA, si l’on définit la “densité moyenne” par ρ = M/(4/3 πR 3 ) ( 3 ),
on obtient ρ 3 kg m −3 , soit 1/300ème de la densité de l’eau !
3 En fait, ainsi qu’on le verra au Chap. 5, le trou noir est une solution du vide de l’équation d’Einstein,
si bien que la densité locale de matière y est nulle, comme on l’a d’ailleurs indiqué dans le tableau 3.1.