Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

3.2 Métrique de Schwarzschild 53
Il s’en suit que le vecteur ∂ϕ de la base naturelle associée aux coordonnées (ct, r, θ, ϕ)
est un vecteur de Killing. Cela traduit l’invariance par rotation autour de l’axe des z
(z := r cos θ). Deux autres vecteurs de Killing d’un espace-temps à symétrie sphérique
sont
ξ(x) = − sin ϕ ∂θ − cot θ cos ϕ ∂ϕ et ξ(y) = − cos ϕ ∂θ + cot θ sin ϕ ∂ϕ. (3.5)
Ils correspondent respectivement à l’invariance par rotation autour de l’axe des x (x :=
r sin θ cos ϕ) et autour de l’axe des y (y := r sin θ sin ϕ).
Remarque : Le vecteur ∂θ ne constitue pas un vecteur de Killing d’un espace-temps à
symétrie sphérique, car, en raison du terme en sin 2 θ dans (3.3), on a ∂gϕϕ/∂θ = 0.
3.2.2 Expression de la métrique de Schwarzschild
Comme mentionné dans l’introduction, nous admettrons que l’espace-temps à l’extérieur
d’un corps isolé à symétrie sphérique est indépendant du détail de la structure interne
de ce corps et est donné par la métrique de Schwarzschild. Cette dernière est une solution
de l’équation d’Einstein (que nous verrons au Chap. 4) que l’on peut définir par l’existence
d’un système de coordonnées (x α ) = (ct, r, θ, ϕ), dites coordonnées de Schwarzschild,
telles que les composantes gαβ de g s’y écrivent
gαβ dx α dx β
= − 1 − 2GM
c2
c
r
2 dt 2
+ 1 − 2GM
c2 −1 dr
r
2 + r 2 dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 .
(3.6)
Il apparaît dans cette expression les constantes fondamentales c (vitesse de la lumière, cf.
(2.1)) et G (constante de Newton pour la gravitation) :
G = 6.6726 × 10 −11 m 3 kg −1 s −2 . (3.7)
Hormis c et G, l’unique paramètre qui apparaît dans (3.6) est la constante M. Cette
dernière dépend du corps central et nous verrons plus bas qu’elle correspond à la masse
de ce corps.
La première constatation à faire au vu de (3.6) est que l’espace-temps (E , g) est
statique et à symétrie sphérique. En effet, les composantes de la métrique sont clairement
indépendantes de t et, pour r > 2GM/c 2 , ∂t · ∂t = −c 2 [1 − 2GM/(c 2 r)] < 0, c’est-àdire
que ∂t est du genre temps ; de part la définition donnée au § 3.2.1, on en conclut
que l’espace-temps est stationnaire. De plus, les composantes gαβ étant diagonales, ∂t est
clairement orthogonal aux hypersurfaces t = const., ce qui montre que l’espace-temps est
statique. Quant à la symétrie sphérique, elle immédiate car les composantes gαβ données
par (3.6) sont de la forme (3.3).
Par ailleurs, l’espace-temps décrit par la métrique de Schwarzschild est
asymptotiquement plat : on a en effet
2GM
lim
r→+∞ c2r = 0, (3.8)