Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

2.6 Principe d’équivalence et géodésiques 49
géodésiques de longueur nulle. On peut toutefois toujours trouver un paramètre λ tel que
l’équation prenne la même forme que (2.133) :
¨X α + Γ α µν ˙ X µ ˙ X ν = 0 . (2.140)
En effet, considérons un changement de paramétrage λ ↦→ λ ′ = f(λ) de la géodésique qui
a pour équation (2.139). Soit x α = X ′α (λ ′ ) l’équation de la géodésique dans ce nouveau
paramétrage. On a évidemment X α (λ) = X ′α (λ ′ ), si bien que
dX α
dλ
= dX′α
dλ ′
df
dλ
En reportant ces valeurs dans l’Eq. (2.139), il vient
d 2 X ′α
dλ ′2 + Γα µν
Si l’on choisit f(λ) telle que
et
dX ′µ
dλ ′
df
dλ
d2X α
dλ2 = d2X ′α
dλ ′2
2 df
+
dλ
dX′α
dλ ′
d2f . (2.141)
dλ2 dX ′ν −2
df
= κ(λ)
dλ ′ dλ
df
dλ − d2f dλ2 ′α
dX
dλ ′ . (2.142)
λ
= a exp κ(
0
¯ λ) d¯
λ
, (2.143)
où a est une constante, alors le membre de droite de (2.142) s’annule et on obtient la forme
(2.140). Les paramètres λ pour lesquels l’équation des géodésiques de longueur nulle prend
la forme (2.140) sont appelés paramètres affines de la géodésique. Cette qualification vient
de ce que tout changement de paramètre de la forme
λ ′ = aλ + b, a = const., b = const. (2.144)
préserve la forme (2.140) de l’équation des géodésiques [pour le voir, il suffit de faire
κ(λ) = 0 dans l’Eq. (2.143)].