Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

48 Cadre géométrique
où x0 0, x1 0, x2 0, x3 0 sont 4 constantes arbitraires et U 0 0 , U 1 0 , U 2 0 , U 3 0 sont 4 constantes vérifiant
gαβU α 0 U β
0 = −c2 . La donnée de Xα (0) correspond à celle d’un point de E et la donnée de
˙X α (0) = cuα (0) à celle des composantes d’une 4-vitesse. Ainsi, en un point quelconque
de E , il passe une, et une seule, géodésique du genre temps ayant une 4-vitesse donnée.
Exemple : Si (E , g) est l’espace-temps de Minkowski et (x α ) = (ct, x, y, z) un système
de coordonnées cartésiennes correspondant à un référentiel inertiel, alors les composantes
gαβ sont données par la matrice de Minkowski (2.62), qui est constante. On
a donc ∂gαβ/∂x γ = 0 de sorte que les symboles de Christoffel sont identiquement
nuls dans ce cas :
Γ α µν = 0. (2.135)
L’équation des géodésiques (2.133) se simplifie alors drastiquement :
d2X α
= 0. (2.136)
dτ 2
Cette équation s’intègre aisément, étant données les conditions initiales (2.134) :
X α (τ) = U α 0 τ + x α 0 . (2.137)
Il s’agit bien évidemment de l’équation d’une droite. On retrouve donc le fait qu’en
relativité restreinte, les lignes d’univers des particules libres de toute interaction sont
des droites.
2.6.3 Géodésiques de longueur nulle
On a vu au § 2.4.1 que les photons (et plus généralement les particules de masse nulle)
se déplacent sur des courbes dont les vecteurs tangents sont du genre lumière. Si P et
P ′ sont deux points infiniment proches d’une telle courbe, le vecteur −→
dP les reliant est
nécessairement du genre lumière, si bien que le carré de la distance entre P et P ′ défini
par l’Eq. (2.77) est
ds 2 = g( −→
dP , −→
dP ) = 0. (2.138)
Cette égalité montre que les courbes qui représentent les photons sont des géodésiques de
longueur nulle de (E , g), encore appelées géodésiques lumière.
On peut montrer que l’équation des géodésiques de longueur nulle (ainsi que celle
d’ailleurs des géodésiques du genre espace) est identique à l’équation (2.130) qui a été
obtenue dans le cas des géodésiques du genre temps :
¨X α + Γ α µν ˙ X µ ˙ X ν = κ(λ) ˙ X α . (2.139)
La différence réside dans les conditions initiales : si on intègre (2.139) avec ˙ X α (0) qui
représente les composantes d’un vecteur du genre lumière (resp. du genre temps), on
obtiendra une géodésique de longueur nulle (resp. du genre temps). Une autre différence
est évidemment que l’on ne peut pas utiliser le temps propre τ pour paramétrer des