Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

2.6 Principe d’équivalence et géodésiques 47
Reportons les expressions (2.122) et (2.125) dans les équations d’Euler-Lagrange (2.119)
pour obtenir
En écrivant
∂gαµ
∂x ν
˙X µ ˙ X ν = 1
2
1 dL
L dλ gαµ ˙ X µ − ∂gαµ
∂xν
∂gαν
∂x µ ˙ X ν X ˙ µ ∂gµα
+
∂xν l’Eq. (2.126) se met sous la forme
gαµ ¨ X µ + 1
2
∂gαν
∂x
˙X µ X˙ ν
− gαµ ¨ X µ + 1 ∂gµν
2 ∂xα ˙ X µ X˙ ν
= 0 (2.126)
∂x
∂gµα ∂gµν
+ − µ ν
˙X µ
X˙ ν
= 1
∂gαν ∂gµα
+
2 ∂x µ ∂xν
∂x α
˙X µ ˙ X ν , (2.127)
˙X µ ˙ X ν = κ(λ) gαµ ˙ X µ , (2.128)
où l’on a défini
κ(λ) := 1 dL
. (2.129)
L dλ
En multipliant matriciellement l’Eq. (2.128) par la matrice inverse gαβ [cf. Eq. (2.49)], on
obtient l’équation des géodésiques cherchée :
avec
¨X α + Γ α µν ˙ X µ ˙ X ν = κ(λ) ˙ X α , (2.130)
Γ α µν := 1
2 gασ
∂gσν
∂x
∂x
∂gµσ ∂gµν
+ − µ ν
∂xσ
, (2.131)
Les quantités Γ α µν sont appelées symboles de Christoffel de la métrique g par rapport aux
coordonnées (x α ).
Si l’on choisit de paramétrer la ligne d’univers géodésique L par le temps propre τ,
alors ˙ X α = dX α /dτ = c u α , où u α désigne les composantes de la 4-vitesse associée à L
[cf Eq. (2.84)]. On alors, d’après (2.120) et la relation de normalisation de la 4-vitesse
gαβu α u β = −1, L = c. Ainsi
λ = τ =⇒ L = c =⇒ dL
dλ
= 0 =⇒ κ(λ) = 0. (2.132)
En utilisant le temps propre comme paramètre, l’équation des géodésiques (2.130) se
simplifie donc en
d2X α
dτ 2 + Γα dX
µν
µ dX
dτ
ν
dτ
= 0 . (2.133)
Si l’on suppose connu gαβ, et donc Γ α µν, comme fonction des coordonnées (x α ) dans la
région considérée, l’équation (2.133) constitue un système de 4 équations différentielles
du second ordre pour les 4 fonctions X α (τ). D’après le théorème de Cauchy, ce système
admet une solution unique si l’on se fixe les conditions initiales suivantes :
X α (0) = x α 0 et ˙ X α (0) = U α 0 , (2.134)