Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

46 Cadre géométrique
Les lignes d’univers des particules matérielles étant des courbes du genre temps, le
principe d’équivalence stipule qu’une particule libre de toute interaction autre que gravitationnelle
se déplace suivant une géodésique du genre temps, c’est-à-dire suivant une
ligne d’univers qui maximise le temps propre entre deux points. On a vu en effet que, pour
une ligne d’univers, la distance métrique n’est autre que le temps propre [cf. Eq. (2.80)].
2.6.2 Équation des géodésiques
Pour déterminer l’évolution d’une particule matérielle dans un champ gravitationnel
relativiste, cherchons donc la ligne d’univers L qui maximise le temps propre τ(A, B)
entre deux points A et B, tel que donné par l’Eq. (2.83).
Soit (x α ) un système de coordonnées de E au voisinage de L et x α = X α (λ) l’équation
paramétrique de L dans ce système de coordonnées [cf. Eq. (2.6)]. En combinant les
Eqs. (2.83) et (2.82), on a
τ(A, B) = 1
λB
−gαβ
c λA
˙ Xα ˙ Xβ dλ, (2.118)
où l’on rappelle que ˙ X α := dX α /dλ. En vertu des équations d’Euler-Lagrange, τ(A, B)
est extrémal (maximal dans le cas présent) ssi
d ∂L
dλ ∂ ˙ Xα
− ∂L
= 0, (2.119)
∂X α
où L est le “lagrangien” qui apparaît dans (2.118) :
L := L(X α
, X˙ α
) = −gµν(X ρ ) ˙ X µ ˙ Xν (2.120)
On a
d’où
Par ailleurs,
∂
∂ ˙ Xα où l’on a utilisé la symétrie de gµν. On en déduit
∂
∂X α
gµν ˙ X µ
X˙ ν
= ∂gµν
∂xα ˙ X µ X˙ ν
, (2.121)
∂L 1 ∂gµν
= −
∂X α 2L ∂xα ˙ X µ X˙ ν
. (2.122)
gµν ˙ X µ ˙ X ν
= gαν ˙ X ν + gµα ˙ X µ = 2gαµ ˙ X µ , (2.123)
∂L
∂ ˙ 1
= −
Xα L gαµ ˙ X µ . (2.124)
En dérivant cette expression par rapport au paramètre λ, il vient
d ∂L
dλ ∂ ˙ Xα
= 1
L2 dL
dλ gαµ ˙ X µ − 1 ∂gαµ
L ∂xν ˙X ν X ˙ µ 1
−
L gαµ ¨ X µ . (2.125)