Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

2.6 Principe d’équivalence et géodésiques 45
c’est-à-dire, en reportant p 0 depuis (2.112),
E = Γmc 2 . (2.115)
On retrouve donc bien (2.106).
Par ailleurs, les composantes de l’impulsion de la particule mesurée par O se déduisent
de (2.108) et (2.112) :
On en déduit que
(P 0 , P x , P y , P z ) = (0, ΓmV, 0, 0) . (2.116)
P = Γm V , (2.117)
où V := V ∂x est la vitesse de la particule mesurée par l’observateur O. Là aussi,
on retrouve une formule bien connue de la relativité restreinte.
2.6 Principe d’équivalence et géodésiques
2.6.1 Principe d’équivalence
En mécanique classique, le principe d’équivalence stipule que, pour tous les corps, la
masse grave est égale à la masse inerte. En conséquence, tous les corps tombent avec la
même accélération dans un champ gravitationnel donné. Cette propriété singularise la
gravitation par rapport aux autres interactions : ainsi l’accélération d’une particule dans
un champ électrique donné dépend sa charge électrique (plus précisément du rapport
entre sa charge et sa masse inerte). Cela conduit à penser que la gravitation n’est pas une
propriété des corps eux-mêmes, mais de l’espace. La théorie relativiste de la gravitation
— la relativité générale — prend en compte le principe d’équivalence en traduisant la
gravitation par la courbure associée à la métrique g de l’espace-temps 8 . Elle stipule que
les particules tests ne subissant que l’interaction gravitationnelle se déplacent sur des
lignes d’univers qui sont des géodésiques de l’espace-temps vis-à-vis de la métrique g.
Dans un espace muni d’une métrique définie positive (c’est-à-dire ayant une signature
qui ne comprend que des +), les géodésiques sont les lignes de plus courte distance entre
deux points. Dans le cas présent d’une métrique de signature (−, +, +, +), une géodésique
est une courbe qui rend extrémale la distance (définie par le tenseur métrique) entre deux
points. On distingue en effet
• les géodésiques du genre espace qui minimisent la distance parmi toutes les courbes
du genre espace reliant entre deux points ;
• les géodésiques de longueur nulle (ou géodésiques lumière) qui assurent une distance
nulle entre deux points ;
• les géodésique du genre temps qui maximisent la distance parmi toutes les courbes
du genre temps entre deux points.
8 la définition mathématique de la courbure sera donnée dans au Chap. 4