Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

44 Cadre géométrique
Fig. 2.17 – Énergie E et vecteur impulsion P d’une particule par rapport à un observateur. L est la
ligne d’univers de la particule et p son vecteur 4-impulsion. L0 est la ligne d’univers de l’observateur et
u0 sa 4-vitesse.
Remarque : Le fait que les formules (2.106) et (2.111) soient les mêmes qu’en relativité
restreinte vient de ce qu’il s’agit de résultats de mesures locales (au point O où les
lignes d’univers de O et de la particule se croisent). La courbure de l’espace-temps,
qui traduit la gravitation et qui n’apparaît pas dans les Eqs. (2.106) et (2.111), ne
se fait sentir que lorsqu’on effectue des mesures sur un domaine d’extension finie.
Exemple : Reprenons l’exemple considéré au § 2.4.4, à savoir celui du mouvement d’une
particule matérielle rapporté à un observateur inertiel O. Les composantes de la 4vitesse
de la particule (par rapport à des coordonnées adaptées à O) étant données
par l’Eq. (2.91), on déduit immédiatement de la formule (2.92) les composantes de
la 4-impulsion
(p 0 , p x , p y , p z ) = (Γmc, ΓmV, 0, 0) , (2.112)
où m est la masse au repos de la particule et Γ = (1 − V 2 /c 2 ) −1/2 = −u0 · u est
son facteur de Lorentz par rapport à O. Dans le cas présent, les composantes de
4-vitesse de O sont très simples :
(u 0 0, u x 0, u y
0, u z 0) = (1, 0, 0, 0), (2.113)
et les composantes de gαβ (nécessaires pour former les produits scalaires) sont données
par la matrice de Minkowski (2.62). L’Eq. (2.105) conduit alors à
E = −gαβ u α 0 p β c = −(−1 × 1 × p 0 )c, (2.114)