Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

d’où
2.5 Observateurs 43
Γ = 1 − 1
v · v
c2 −1/2
. (2.104)
Comme v est un vecteur du genre espace (puisqu’appartenant à l’espace local de repos
de O), cette formule montre que l’on a toujours Γ > 1 (phénomène de “dilatation des
temps”).
2.5.4 Mesures d’énergie et de quantité de mouvement
Soit O un observateur de ligne d’univers L0 et de 4-vitesse u0. Considérons une
particule de masse nulle (photon) ou non (particule matérielle) dont la ligne d’univers L
coupe celle de O en un point O. Soit p le vecteur 4-impulsion de la particule. Rappelons
que p est un vecteur tangent à L .
L’énergie de la particule mesurée par l’observateur O est donnée par le produit scalaire
E := −u0 · p c . (2.105)
Dans le cas d’une particule massive, de masse m, la 4-impulsion p est reliée à la 4-vitesse
u par p = mc u [Eq. (2.92)] et le produit scalaire −u0 · u n’est autre que le facteur de
Lorentz Γ de la particule par rapport à O [cf. Eq. (2.102)]. L’Eq. (2.105) conduit alors à
E = Γmc 2 . (2.106)
On retrouve ainsi la célèbre formule de la relativité restreinte.
La quantité de mouvement ou impulsion de la particule mesurée par l’observateur O
est donnée par le vecteur
P := p + (u0 · p) u0 , (2.107)
formule que l’on peut écrire
P = p − E
c u0. (2.108)
Le vecteur P appartient à l’espace local de repos de l’observateur O, puisque par construction
u0 · P = 0. (2.109)
Puisque u0 est unitaire, on peut voir la quantité E/c définie par (2.105) comme la
composante de p sur u0. De son côté, P constitue la composante de p orthogonale à
u0 (cf. Fig. 2.17). On peut d’ailleurs réécrire (2.108) sous la forme d’une décomposition
orthogonale :
p = E
c u0 + P avec u0 · P = 0. (2.110)
En formant le carré scalaire de p à partir de cette décomposition en y reportant (2.79)
pour un photon ou (2.93) pour une particule massive, on obtient la relation
où m est la masse de la particule (m = 0 pour un photon).
E 2 = m 2 c 4 + P · P c 2 , (2.111)