Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

42 Cadre géométrique
Fig. 2.16 – Intervalles de temps propre dτ et dτ ′ le long des lignes d’univers L et L ′ de deux
observateurs O et O ′ dont les positions coïncident en O. B est le point de L considéré comme simultané
de l’événement A par l’observateur O et dτ v est le vecteur déplacement infinitésimal de B en A. dτ est
relié à dτ ′ par le facteur de Lorentz Γ : dτ = Γdτ ′ .
O. Notons dτ v le vecteur déplacement infinitésimal joignant B à A. Ce vecteur appartient
à l’espace local de repos de l’observateur O ; il est donc orthogonal à u. v représente la
vitesse de O ′ relativement à O : déplacement de O ′ par unité de temps propre de O. Étant
donné que u et u ′ sont des vecteurs unitaires, on a l’égalité vectorielle (cf. Fig. 2.16) :
d’où, en utilisant (2.98),
cdτ ′ u ′ = cdτ u + dτ v, (2.99)
v = c Γ −1 u ′ − u . (2.100)
Par ailleurs, v est dans l’espace local de repos de O en A, si bien que
u · v = 0. (2.101)
En reportant l’expression (2.100) de v et en utilisant la relation (2.86) de normalisation
de la 4-vitesse (u · u = −1), il vient
Γ = −u · u ′ . (2.102)
Ainsi, du point de vue géométrique, le facteur de Lorentz n’est autre que l’opposé du
produit scalaire des vecteurs unitaires tangents aux deux lignes d’univers considérées.
On a d’après (2.100), u ′ = Γ(c −1 v + u), si bien que la relation de normalisation
u ′ · u ′ = −1, combinée à (2.101) et u · u = −1, conduit à
− 1 = Γ 2 (c −2 v · v − 1), (2.103)