Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

2.5 Observateurs 41
einsteinienne de la simultanéité, le 4-vecteur infinitésimal séparant A et A2 est également
cδt u. Par ailleurs, écrivons le 4-vecteur infinitésimal séparant A et M comme cδt n. Le
fait qu’un signal lumineux soit envoyé entre A1 et M revient alors à dire que le vecteur
cδt u + cδt n est du genre lumière :
(u + n) · (u + n) = 0. (2.95)
De même, le fait qu’un signal lumineux soit envoyé de M à A2 revient à dire que le vecteur
−cδt n + cδt u est du genre lumière :
(u − n) · (u − n) = 0. (2.96)
En développant les expressions (2.95) et (2.96) et en soustrayant les résultats, on obtient :
u · n = 0, (2.97)
ce qui montre que la droite infinitésimale joignant A et M est orthogonale à la ligne
d’univers L0 (cf. Fig. 2.15).
Réciproquement, si M est un événement de E infiniment proche de A et tel que le
4-vecteur infinitésimal séparant A et M soit orthogonal à u, alors en reprenant le calcul
précédent à l’envers il est facile de voir que nécessairement t = (t1 + t2)/2, c’est-à-dire que
M est simultané à A.
En conclusion, au voisinage de A, les événements de E simultanés à A pour O sont
caractérisés par l’orthogonalité de u(A) et de leur séparation de A. Ils définissent donc un
sous-espace vectoriel de l’espace tangent TA(E ), à savoir le sous-espace vectoriel perpendiculaire
à u. g étant une forme bilinéaire non dégénérée, ce sous-espace est de dimension
3 (il s’agit donc d’un hyperplan de TA(E )). De plus, cet hyperplan est du genre espace, au
sens où tous les 4-vecteurs qui lui appartiennent sont du genre espace 7 . Nous l’appellerons
l’espace local de repos de l’observateur O en A. On peut l’interpréter comme l’espace
ambiant à 3 dimensions “perçu” par l’observateur O.
2.5.3 Facteur de Lorentz
Soit O un observateur, de ligne d’univers L . Soit O ′ un deuxième observateur, dont
la ligne d’univers L ′ coupe celle de O en un point O. Soit τ (resp. τ ′ ) le temps propre
de O (resp. O ′ ) en O. Au bout d’un temps propre infinitésimal dτ ′ , O ′ se trouve au point
A (cf. Fig. 2.16). Soit alors τ + dτ la date attribuée par O à l’événement A (suivant la
procédure décrite au § 2.5.1). Contrairement à ce que prédit la physique newtonienne, dτ
n’est pas égal à dτ ′ . Le rapport de ces deux intervalles de temps propre (l’un pour O,
l’autre pour O ′ ) définit le facteur de Lorentz Γ de O ′ par rapport à O :
dτ = Γdτ ′ . (2.98)
Exprimons le facteur de Lorentz en fonction des 4-vitesses u et u ′ de respectivement O
et O ′ . Soit B le point de L considéré comme simultané à l’événement A par l’observateur
7 tout hyperplan dont la normale est du genre temps est du genre espace (exercice : le démontrer).