Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

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4 TABLE DES MATIÈRES 2.6.2 Équation des géodésiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.6.3 Géodésiques de longueur nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3 Champ gravitationnel à symétrie sphérique (métrique de Schwarzschild) 51 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2 Métrique de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.2.1 Espace-temps statique et à symétrie sphérique . . . . . . . . . . . . 52 3.2.2 Expression de la métrique de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . 53 3.2.3 Paramètre de compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.2.4 Théorème de Birkhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2.5 Métrique de Schwarzschild en coordonnées isotropes . . . . . . . . . 56 3.3 Géodésiques lumière radiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.3.1 Recherche des géodésiques lumière radiale . . . . . . . . . . . . . . 58 3.3.2 Coordonnées d’Eddington-Finkelstein . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.4 Décalage spectral gravitationnel (effet Einstein) . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.4.1 Symétries et quantités conservées le long des géodésiques . . . . . . 60 3.4.2 Effet Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.4.3 Effet Einstein comme dilatation des temps . . . . . . . . . . . . . . 65 3.4.4 Mise en évidence expérimentale et observationnelle . . . . . . . . . 67 3.5 Orbites des corps matériels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.5.1 Quantités conservées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.5.2 Potentiel effectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.5.3 Orbites circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.5.4 Dernière orbite circulaire stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.5.5 Autres orbites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.5.6 Avance du périastre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.6 Trajectoires des photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.6.1 Potentiel effectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.6.2 Allure des trajectoires des photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.6.3 Déviation des rayons lumineux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.6.4 Mirages gravitationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.6.5 Retard de la lumière (effet Shapiro) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4 Équation d’Einstein 89 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.2 Dérivation covariante (connexion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.2.1 Gradient d’un champ scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.2.2 Dérivation covariante d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.2.3 Extension à tous les tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.2.4 Connexion compatible avec la métrique . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.2.5 Divergence d’un champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.3 Tenseur de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.3.1 Transport parallèle non infinitésimal et courbure . . . . . . . . . . . 102 4.3.2 Propriétés du tenseur de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
TABLE DES MATIÈRES 5 4.3.3 Tenseur de Ricci et tenseur d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.4 Tenseur énergie-impulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.4.2 Tenseur énergie-impulsion du fluide parfait . . . . . . . . . . . . . . 108 4.5 Équation d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.5.1 Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.5.2 Limite newtonienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.6 Solutions statiques et à symétrie sphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.6.1 Écriture de l’équation d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.6.2 Solution de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.6.3 Équations de Tolman-Oppenheimer-Volkoff . . . . . . . . . . . . . . 115 4.6.4 Pour aller plus loin... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5 Trous noirs 119 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.2 Singularité de coordonnées et singularité centrale . . . . . . . . . . . . . . 120 5.2.1 Nature de la singularité au rayon de Schwarzschild . . . . . . . . . 120 5.2.2 Singularité centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.3 Horizon des événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.3.1 Caractérisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.3.2 Genre lumière de l’horizon des événements . . . . . . . . . . . . . . 124 5.4 Effondrement gravitationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.5 Trous noirs en rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.5.1 Solution de Kerr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.5.2 Théorème d’unicité (absence de chevelure) . . . . . . . . . . . . . . 128 5.5.3 Horizon des événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 5.5.4 Ergosphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.6 Mouvement géodésique dans l’espace-temps de Kerr . . . . . . . . . . . . . 130 5.6.1 Quantités conservées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5.6.2 Effet Lense-Thirring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.6.3 Orbites circulaires dans l’espace-temps de Kerr . . . . . . . . . . . . 133 5.6.4 Processus d’extraction d’énergie de Penrose . . . . . . . . . . . . . 135 6 Ondes gravitationnelles 137 6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 6.2 Linéarisation de l’équation d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.2.1 Perturbation de la métrique de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . 138 6.2.2 Équation d’Einstein linéarisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 6.3 Jauge de Lorenz et jauge TT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 6.3.1 Changement de coordonnées infinitésimal . . . . . . . . . . . . . . . 142 6.3.2 Point de vue “théorie de jauge” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.3.3 Jauge de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.3.4 Jauge TT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.4 Effets d’une onde gravitationnelle sur la matière . . . . . . . . . . . . . . . 148
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