Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

t 1
t
0
t 2
2.5 Observateurs 39
A
A 1
A 2
Fig. 2.13 – Définition einsteinienne de la simultanéité : A et M sont simultanés pour l’observateur O
ssi A est situé à mi-temps de l’aller-retour d’un photon de O vers M .
où t1 est le temps propre (vis-à-vis de O) d’émission par O d’un photon qui atteint
l’événement M et est réfléchi (sans délai) en M pour atteindre de nouveau l’observateur
O au temps propre t2 (cf. Fig. 2.13).
Cette définition est très naturelle et peut s’interpréter naïvement en admettant que
le “temps” mis par la lumière pour aller de O à M est le même que celui pour aller
de M à O. Nous disons “naïvement” car la notion de “temps de parcours” dépend de la
définition de date adoptée, et donc de la notion de simultanéité. Dans l’optique d’Einstein,
la définition de la simultanéité ainsi formulée s’accorde bien avec son postulat de constance
de la vitesse de la lumière. Dans le cadre plus géométrique adopté ici, cette définition est
tout à fait acceptable car elle ne fait intervenir que les cônes de lumière, qui représentent
la seule structure canonique de l’espace-temps relativiste. De plus, cette définition est
opérationnelle : elle est basée sur un critère physiquement réalisable (mesure du temps
d’aller-retour d’un signal électromagnétique).
2.5.2 Espace local de repos
L’ensemble des événements simultanés à un point A de la ligne d’univers de O constitue
une sous-variété de dimension 3 (on dit hypersurface) de E qui coupe L0 en A (cf.
Fig. 2.14). Nous l’appellerons hypersurface de simultanéité de A pour O.
Une propriété géométrique importante de l’hypersurface de simultanéité est son orthogonalité
(vis-à-vis du tenseur métrique g) à la ligne d’univers de l’observateur considéré.
Plaçons-nous en effet au voisinage du point A. Soit A1 l’événement d’émission par O
du photon qui va se réfléchir en M et être reçu par O en A2 (cf. Fig. 2.15). Le 4-vecteur
infinitésimal séparant A1 et A est cδt u, où u est la 4-vitesse de O. De part la définition
M