Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

36 Cadre géométrique
Rappelons que la notation u · u désigne le produit scalaire g(u, u).
Étant donné un paramétrage xα = Xα (λ) de la ligne d’univers
L dans un système
de coordonnées (x α ), on a dP α = ˙ X α dλ [cf. Eq. (2.33)] et dτ = c −1
−gαβ ˙ X α ˙ X β dλ [cf.
Eq. (2.82)]. En reportant ces valeurs dans l’Eq. (2.84), on obtient les composantes de la
4-vitesse par rapport à la base naturelle ∂α :
u α =
˙X α
−gµν ˙ X µ ˙ X ν
. (2.87)
Exemple : Prenons pour E l’espace-temps de Minkowski et pour (x α ) = (ct, x, y, z)
un système de coordonnées cartésiennes 6 correspondant à un référentiel inertiel.
Considérons un point matériel animé d’une vitesse V = dx/dt le long de l’axe x
dans ce référentiel. En prenant t comme paramètre, l’équation de sa ligne d’univers
est donnée par ⎧⎪ ⎨
si bien que
⎪⎩
ct = X 0 (t) = ct
x = X 1 (t) = V t
y = X 2 (t) = 0
z = X 3 (t) = 0,
(2.88)
( ˙ X α ) = (c, V, 0, 0). (2.89)
Puisque le référentiel considéré est inertiel, la matrice gµν des composantes de g est
la matrice de Minkowski (2.62). On obtient alors
gµν ˙ X µ ˙ X ν = −c 2 + V 2 . (2.90)
En reportant (2.89) et (2.90) dans (2.87), il vient
(u 0 , u x , u y , u z
1
) =
1 − V 2 /c2 ,
1
1 − V 2 /c2 On retrouve ainsi les formules bien connues de la relativité restreinte.
V
, 0, 0
c
. (2.91)
Remarque : Il convient d’insister sur un point : contrairement à la vitesse “ordinaire”,
la 4-vitesse d’une particule matérielle a été définie sans référence à un observateur
ou un référentiel. Il s’agit d’une quantité absolue qui ne dépend que de la particule
considérée. Ainsi, tout n’est pas relatif dans la théorie de la relativité...
2.4.5 Quadri-impulsion
Une particule matérielle est caractérisée par une constante m > 0, que l’on appelle sa
masse au repos, ou encore tout simplement sa masse. Cette constante a évidemment la
6 Rappelons que suivant la convention énoncée au § 2.2.1, nous utilisons ct et non t comme coordonnée
pour que toutes les coordonnées sur E soient homogènes à des longueurs.