Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

34 Cadre géométrique
Fig. 2.10 – Ligne d’univers d’une particule matérielle.
infiniment précise.
Si l’on se donne un paramétrage P : R → E , λ ↦→ P = P(λ) de la ligne d’univers
L , −→
dP est relié au vecteur tangent v associé à ce paramétrage par l’Eq. (2.33), si bien
que l’on peut écrire (2.80) sous la forme
dτ = 1
−g(v, v) dλ. (2.81)
c
Soulignons que bien que cette expression fasse apparaître le paramétrage P de L (via v
et λ), la valeur de dτ est indépendante du choix d’un tel paramétrage, ainsi qu’il est clair
sur la définition (2.80). En explicitant le paramétrage P dans un système de coordonnées
(x α ), sous la forme x α = X α (λ) [cf. Eq. (2.6)], les composantes de v dans la base naturelle
associée ( ∂α) sont v α = ˙ X α := dX α /dλ, si bien que l’expression (2.81) s’écrit
dτ = 1
−gαβ
c
˙ Xα ˙ Xβ dλ . (2.82)
Considérons à présent deux événements A = p(λA) et B = p(λB) sur la ligne d’univers
L , que l’on ne suppose plus infiniment proches. Le temps propre écoulé entre A et B est
alors donné par l’intégrale
τ(A, B) :=
B
A
dτ = 1
λB
−g(v(λ), v(λ)) dλ . (2.83)
c λA