Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

2.4 Lignes d’univers 33
Fig. 2.9 – Cône isotrope dans l’espace vectoriel tangent TP (E ) en un point P et cône de lumière
passant par ce point.
occupées par le point matériel. Alors que les courbes décrivant les photons doivent être
du genre lumière, on postule que toute courbe L qui représente un point matériel doit
être du genre temps, c’est-à-dire telle que tout vecteur tangent à L soit du genre temps.
Cette propriété mathématique traduit l’impossibilité pour des particules matérielles de
voyager plus vite que la lumière. La courbe L est appelée ligne d’univers de la particule
matérielle considérée.
De part leur définition, les lignes d’univers des points matériels sont toujours situées
à l’intérieur du cône de lumière en un point donné, comme représenté sur la Fig. 2.10.
2.4.3 Temps propre
En plus de définir les trajectoires des photons via son cône isotrope, une deuxième
interprétation physique fondamentale du tenseur métrique g est liée au temps mesuré
le long des lignes d’univers, c’est-à-dire au temps propre des particules matérielles. Soit
en effet deux événements P et P ′ infiniment voisins sur la ligne d’univers L d’un point
matériel donné, tels que P ′ soit dans le futur de P (cf. Fig. 2.10). P et P ′ étant infiniment
voisins, on peut leur associer un 4-vecteur séparation infinitésimal −→
dP , tel que défini au
§ 2.2.3. −→
dP est un vecteur tangent à L . Le carré de la distance entre P et P ′ tel que
défini par l’Eq. (2.77) est ds2 = g( −→
dP , −→
dP ). D’après la définition d’une ligne d’univers,
−→
dP est nécessairement du genre temps, de sorte que ds2 < 0. La quantité √ −ds2 est alors
bien définie et on pose
dτ := 1
−g(
c
−→
dP , −→
dP ) , (2.80)
où c est la constante définie par (2.1). La quantité τ définie ci-dessus est appelée temps propre
le long de la ligne d’univers L . Elle correspond physiquement au temps mesuré par une
horloge entraînée par le point matériel dont L est la ligne d’univers, horloge qui serait