Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

32 Cadre géométrique
de signature (−, +, +, +), appelée tenseur métrique. La différence fondamentale entre la
relativité restreinte (qui décrit les interactions autres que gravitationnelle) et la relativité
générale (qui incorpore la gravitation) est la suivante :
• en relativité restreinte, à la fois E et g sont fixés a priori : E = R 4 et g est la
métrique de Minkowski,
• en relativité générale : ni E , ni g ne sont déterminés a priori : en particulier, g doit
être calculé en résolvant l’équation d’Einstein, que nous verrons au Chap. 4.
Notons cependant que pour une grande classe de problèmes (espace-temps asymptotiquement
plat et ne contenant pas de trous noirs), on a E = R 4 , tout comme en relativité
restreinte. Par contre, il reste toujours à résoudre l’équation d’Einstein pour déterminer
g.
2.4 Lignes d’univers
2.4.1 Trajectoires des photons et cône de lumière
Ayant introduit le cadre géométrique (E , g), nous sommes en mesure d’énoncer le
premier postulat physique à la base de la théorie de la relativité : les photons (et plus
généralement les particules de masse nulle) sont décrits par des courbes de E dont les
vecteurs tangents sont des vecteurs du cône isotrope de g, autrement dit des vecteurs
du genre lumière. Le fait qu’une particule comme le photon soit représentée par une
courbe (sous-variété de E de dimension 1) et non par un point est bien évidemment la
traduction spatio-temporelle du concept de particule : la courbe est constituée par toutes
les “positions successives” occupées par la particule.
En un point P de E donné, l’ensemble des courbes représentant les photons, a pour support
un cône infinitésimal, que l’on peut voir comme l’empreinte du cône isotrope de l’espace
vectoriel tangent TP (E ) (cf. Fig. 2.9). Ce cône infinitésimal est appelé cône de lumière
au point P ; il est formé de toutes les rayons lumineux émis depuis P (nappe du futur)
ou reçus en P (nappe du passé).
Le fait que les cônes de lumière soient une structure intrinsèque de (E , g), c’est-à-dire
que leur définition ne fasse appel aucunement à la notion d’observateur, est la traduction
géométrique de l’indépendance de la vitesse de la lumière par rapport à tous les
observateurs inertiels (l’un des postulats historiques d’Einstein (1905)).
Un photon physique est décrit non seulement par une courbe C de genre lumière, mais
par aussi par la donnée d’un vecteur p tangent à C en tout point. Ce vecteur, qui a la
dimension d’une impulsion, est appelé quadri-impulsion (ou 4-impulsion du photon). Il
s’agit par définition d’un vecteur de genre lumière :
2.4.2 Mouvement d’un point matériel
p · p = 0. (2.79)
Tout comme le photon, le fameux point matériel de la mécanique classique devient une
courbe dans l’espace-temps relativiste, correspondant à toutes les “positions successives”