Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

30 Cadre géométrique
que l’on déduit aisément de (2.67). Dans la base (e ′ α) les composantes des vecteurs e0,
e1, u et v sont les suivantes
e α′
0 = ( √ 2, −1, 0, 0), e α′
1 = (−1, √ 2, 0, 0), u α′
= ( √ 2 − 1, √ 2 − 1, 0, 0),
v α′
= ( √ 2 + 1, − √ 2 − 1, 0, 0). (2.76)
Nous avons souligné plus haut que la représentation des vecteurs (e0, e1) par des flèches
perpendiculaires sur la Fig. 2.6 était un choix arbitraire. Dessinons alors une nouvelle
figure en privilégiant la base orthonormale fondée sur (a0, a1) plutôt que (e0, e1), c’est-àdire
en représentant a0 et a1 par deux flèches perpendiculaires, l’une verticale et l’autre
horizontale. Le dessin des vecteurs e0, e1, u et v se déduit alors des composantes (2.76).
On obtient alors la Fig. 2.7. Elle est d’aspect très différent de la Fig. 2.6, mais soulignons
que les deux figures sont deux représentations du même espace vectoriel TP (E ) tangent
à l’espace-temps E au point P . Les vecteurs dessinés y sont les mêmes, simplement ces
deux représentations sont basées sur deux bases orthonormales différentes : (e0, e1) pour
la Fig. 2.6 et (a0, a1) pour la Fig. 2.7. Aucune de ces deux bases orthonormales n’est
privilégiée par rapport à la métrique g, qui est la seule structure fondamentale introduite
jusqu’ici.
Il y a tout de même un point commun qu’il convient de souligner entre les Figs. 2.6
et 2.7 : les directions des vecteurs du genre lumière u et v sont les mêmes dans les deux
schémas, à savoir des droites à ±45 ◦ . C’est en fait une propriété fondamentale de tous les
diagrammes d’espace-temps que nous construirons : les directions des vecteurs du genre
lumière seront toujours des droites inclinées à ±45 ◦ par rapport aux axes de la figure.
Autrement dit on privilégie les seules directions que l’on peut canoniquement associer au
tenseur métrique g, à savoir les directions isotropes (carré scalaire nul pour la métrique
g), que nous allons discuter à présent.
2.3.6 Cône isotrope
Dans l’espace vectoriel TP (E ), l’ensemble des vecteurs du genre lumière constitue ce
qu’en algèbre linéaire, on appelle le cône isotrope I de la forme bilinéaire g. Le mot cône
signifie que si v ∈ I, alors ∀λ ∈ R, λv ∈ I.
Le cône isotrope est représenté graphiquement sur la Fig. 2.8. Il sépare les vecteurs
du genre temps de ceux du genre espace : les premiers sont situés à l’intérieur du cône,
les seconds à l’extérieur. De plus, le cône isotrope comprend deux nappes. On convient
d’appeler nappe du futur l’une de ces deux nappes, soit I + . La deuxième nappe est appelée
nappe du passé et notée I − . On peut alors ranger les 4-vecteurs du genre temps en deux
catégories distinctes : les 4-vecteurs situés à l’intérieur de la nappe du futur (resp. du
passé) sont dits orientés vers le futur (resp. orientés vers le passé). On qualifie de choix
d’une flèche du temps le choix de la nappe I + .
2.3.7 Distance entre deux points
Considérons deux points P et P ′ infiniment proches sur la variété E . Nous avons vu
au § 2.2.3 qu’on peut leur associer un vecteur séparation infinitésimal −→
dP qui appartient