Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

2.3 Tenseur métrique 29
Commençons par discuter la Fig. 2.6. On considère une base vectorielle (eα) orthonormale
pour la métrique g. Pour obtenir une figure bidimensionnelle, nous ne représenterons
que les deux premiers vecteurs de cette base : e0 est par définition un vecteur du genre
temps unitaire : e0 · e0 = −1 [cf. (2.58)], e1 est un vecteur du genre espace unitaire :
e1 · e1 = 1 [cf. (2.59)], et e0 et e1 sont mutuellement orthogonaux : e0 · e1 = 0 [cf. (2.60)].
Sur la Fig. 2.6, on a choisi arbitrairement de représenter les vecteurs e0 et e1 par deux
flèches perpendiculaires, avec le vecteur du genre temps vertical et celui du genre espace
horizontal. Par ailleurs, nous avons dessiné quatre autres vecteurs, a0, a1, u et v, dont
les composantes respectives dans la base (e0, e1, e2, e3) sont
a α 0 = ( √ 2, 1, 0, 0), a α 1 = (1, √ 2, 0, 0), u α = (1, 1, 0, 0), v α = (1, −1, 0, 0). (2.67)
La première remarque que l’on peut faire est que, bien que les flèches qui les représentent
sur la Fig. 2.6 ne soient pas perpendiculaires, les vecteurs a0 et a1 sont orthogonaux pour
la métrique g. Vérifions-le explicitement, en utilisant le fait que dans la base orthonormale
(eα) le produit scalaire est donné par (2.63) :
a0 · a1 = gαβ a α 0 a β
1 = ηαβ a α 0 a β
1 = − √ 2 × 1 + 1 × √ 2 + 0 × 0 + 0 × 0 = 0. (2.68)
De plus, a0 et a1 sont des vecteurs unitaires, a0 étant du genre temps et a1 du genre
espace :
a0 · a0 = ηαβ a α 0 a β
0 = − √ 2 × √ 2 + 1 × 1 + 0 × 0 + 0 × 0 = −1, (2.69)
a1 · a1 = ηαβ a α 1 a β
1 = −1 × 1 + √ 2 × √ 2 + 0 × 0 + 0 × 0 = 1. (2.70)
Ainsi la “norme” du vecteur a1 pour la métrique g est la même que celle du vecteur e1,
à savoir 1, bien que sur la Fig. 2.6 ces deux vecteurs soient représentés par des flèches de
longueurs différentes.
A l’inverse de a0 et a1, les vecteurs u et v sont représentés sur la Fig. 2.6 par des
flèches perpendiculaires, alors qu’ils ne sont pas orthogonaux pour la métrique g :
u · v = ηαβ u α v β = −1 × 1 + 1 × (−1) + 0 × 0 + 0 × 0 = −2 = 0. (2.71)
Remarquons par ailleurs que ces vecteurs sont du genre lumière :
u · u = ηαβ u α u β = −1 × 1 + 1 × 1 + 0 × 0 + 0 × 0 = 0, (2.72)
v · v = ηαβ v α v β = −1 × 1 + (−1) × (−1) + 0 × 0 + 0 × 0 = 0. (2.73)
Les vecteurs a0 et a1 étant orthogonaux et unitaires, avec a0 · a0 = −1 et a1 · a1 = 1,
ils forment le début d’une base orthonormale, que l’on peut compléter par exemple par
e2 et e3. On définit ainsi la nouvelle base orthonormale
(e ′ α) = (a0, a1, e2, e3). (2.74)
Le changement de base (eα) → (e ′ α) est donné par les relations
a0 = √ a1 =
2e0 + e1
e0 + √ 2e1
et
e0 = √ e1 =
2a0 − a1
−a0 + √ 2a1
, (2.75)