Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

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28 Cadre géométrique Fig. 2.6 – 4-vecteurs de l’espace TP (E ) : deux dimensions d’espace ont été supprimées si bien que la figure est plane. Fig. 2.7 – Même vecteurs de l’espace TP (E ) que sur la Fig. 2.6, mais dans une représentation basée sur la base orthonormale (a1, a2), plutôt que (e1, e2). Même si la figure a l’air très différente de la Fig. 2.6, on peut constater que les égalités vectorielles u = e0 + e1 et v = e0 − e1 sont bien satisfaites. Par ailleurs, les vecteurs du genre lumière, c’est-à-dire u et v, sont dessinés à 45 ◦ , tout comme sur la Fig. 2.6.
2.3 Tenseur métrique 29 Commençons par discuter la Fig. 2.6. On considère une base vectorielle (eα) orthonormale pour la métrique g. Pour obtenir une figure bidimensionnelle, nous ne représenterons que les deux premiers vecteurs de cette base : e0 est par définition un vecteur du genre temps unitaire : e0 · e0 = −1 [cf. (2.58)], e1 est un vecteur du genre espace unitaire : e1 · e1 = 1 [cf. (2.59)], et e0 et e1 sont mutuellement orthogonaux : e0 · e1 = 0 [cf. (2.60)]. Sur la Fig. 2.6, on a choisi arbitrairement de représenter les vecteurs e0 et e1 par deux flèches perpendiculaires, avec le vecteur du genre temps vertical et celui du genre espace horizontal. Par ailleurs, nous avons dessiné quatre autres vecteurs, a0, a1, u et v, dont les composantes respectives dans la base (e0, e1, e2, e3) sont a α 0 = ( √ 2, 1, 0, 0), a α 1 = (1, √ 2, 0, 0), u α = (1, 1, 0, 0), v α = (1, −1, 0, 0). (2.67) La première remarque que l’on peut faire est que, bien que les flèches qui les représentent sur la Fig. 2.6 ne soient pas perpendiculaires, les vecteurs a0 et a1 sont orthogonaux pour la métrique g. Vérifions-le explicitement, en utilisant le fait que dans la base orthonormale (eα) le produit scalaire est donné par (2.63) : a0 · a1 = gαβ a α 0 a β 1 = ηαβ a α 0 a β 1 = − √ 2 × 1 + 1 × √ 2 + 0 × 0 + 0 × 0 = 0. (2.68) De plus, a0 et a1 sont des vecteurs unitaires, a0 étant du genre temps et a1 du genre espace : a0 · a0 = ηαβ a α 0 a β 0 = − √ 2 × √ 2 + 1 × 1 + 0 × 0 + 0 × 0 = −1, (2.69) a1 · a1 = ηαβ a α 1 a β 1 = −1 × 1 + √ 2 × √ 2 + 0 × 0 + 0 × 0 = 1. (2.70) Ainsi la “norme” du vecteur a1 pour la métrique g est la même que celle du vecteur e1, à savoir 1, bien que sur la Fig. 2.6 ces deux vecteurs soient représentés par des flèches de longueurs différentes. A l’inverse de a0 et a1, les vecteurs u et v sont représentés sur la Fig. 2.6 par des flèches perpendiculaires, alors qu’ils ne sont pas orthogonaux pour la métrique g : u · v = ηαβ u α v β = −1 × 1 + 1 × (−1) + 0 × 0 + 0 × 0 = −2 = 0. (2.71) Remarquons par ailleurs que ces vecteurs sont du genre lumière : u · u = ηαβ u α u β = −1 × 1 + 1 × 1 + 0 × 0 + 0 × 0 = 0, (2.72) v · v = ηαβ v α v β = −1 × 1 + (−1) × (−1) + 0 × 0 + 0 × 0 = 0. (2.73) Les vecteurs a0 et a1 étant orthogonaux et unitaires, avec a0 · a0 = −1 et a1 · a1 = 1, ils forment le début d’une base orthonormale, que l’on peut compléter par exemple par e2 et e3. On définit ainsi la nouvelle base orthonormale (e ′ α) = (a0, a1, e2, e3). (2.74) Le changement de base (eα) → (e ′ α) est donné par les relations a0 = √ a1 = 2e0 + e1 e0 + √ 2e1 et e0 = √ e1 = 2a0 − a1 −a0 + √ 2a1 , (2.75)
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