Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

2.3 Tenseur métrique 27
On voit clairement sur cette expression que ( ∂0 = c−1∂t, ∂r, ∂θ, ∂ϕ) ne constitue pas
une base orthonormale. Par contre, la base vectorielle (eˆα) obtenue en renormalisant
les vecteurs ∂α ′ suivant ⎧⎪
eˆ0
⎨
= ∂0
eˆr = ∂r
eˆ θ = 1
(2.66)
r
⎪⎩
∂θ
1
e ˆϕ =
r sin θ ∂ϕ
est une base orthonormale. Elle est représentée sur la Fig. 2.5. Notons qu’elle n’est
pas une base naturelle : il n’existe aucun système de coordonnées (xˆα ) tel que eˆα =
∂ˆα.
2.3.4 Genre des 4-vecteurs
Si l’on considère le produit scalaire classique (2.43) sur l’espace euclidien de dimension
trois, sa signature (+, +, +) fait qu’il est défini positif, c’est-à-dire que l’on a, pour tout
vecteur v, v · v ≥ 0, l’égalité n’étant réalisée que si, et seulement si, v = 0.
Par contre la signature (−, +, +, +) de g ne lui permet pas d’être défini positif. Le
produit scalaire d’un 4-vecteur u avec lui même peut a priori avoir n’importe quel signe
et être nul sans que u le soit. On pose alors les définitions suivantes :
On dit qu’un vecteur u de TP (E ) est :
• du genre temps ssi : g(u, u) < 0 ;
• du genre espace ssi : g(u, u) > 0 ;
• du genre lumière ssi : u = 0 et g(u, u) = 0. Dans le vocabulaire de l’algèbre linéaire,
les vecteurs du genre lumière s’appellent aussi vecteurs isotropes de la forme bilinéaire
g.
Ces définitions à connotation “physique” seront justifiées au § 2.4.
Remarque : “du genre lumière” se dit “null” en Anglais ; ainsi lorsqu’on rencontre le
terme “null vector” dans un livre de relativité en Anglais, il ne s’agit pas du vecteur
nul, mais d’un vecteur de genre lumière.
Un 4-vecteur u est dit unitaire ssi u est du genre temps et vérifie g(u, u) = −1 ou
bien u est du genre espace et vérifie g(u, u) = 1.
2.3.5 Représentation graphique des vecteurs
Pour dessiner des figures dans l’espace-temps, on supprimera une ou deux dimensions
: on aura alors respectivement des dessins à trois dimensions en perspective ou des
dessins plans. Deux vecteurs orthogonaux pour la métrique g ne seront pas nécessairement
représentés par deux flèches perpendiculaires (au sens usuel du terme) : par exemple, un
vecteur de genre lumière est orthogonal à lui-même alors que graphiquement, une flèche
ne peut évidemment pas être perpendiculaire à elle-même. Cet aspect des graphiques
d’espace-temps est illustré sur les Fig. 2.6 et Fig. 2.7, sur lesquelles nous invitons le lecteur
à pendre le temps de réfléchir.