Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

26 Cadre géométrique
2.3.3 Bases orthonormales
Une base (e0, e1, e2, e3) de l’espace vectoriel TP (E ) est dite orthonormale (on omettra
de préciser pour le produit scalaire g) ssi :
e0 · e0 = −1 (2.58)
ei · ei = 1 pour 1 ≤ i ≤ 3 (2.59)
eα · eβ = 0 pour α = β . (2.60)
Par rapport à une base orthonormale, la matrice de g est donc
gαβ = g(eα, eβ) = ηαβ , (2.61)
où (ηαβ) désigne la matrice suivante, appelée matrice de Minkowski,
η :=
⎛
⎜
⎝
−1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
⎞
⎟
⎠
. (2.62)
Ainsi dans une base orthonormale, le produit scalaire de deux vecteurs u et v s’exprime
en termes de leurs composantes (u α ) et (v α ) par [cf. (2.48)] :
u · v = ηαβ u α v β = −u 0 v 0 + u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 . (2.63)
On retrouve ainsi la formule (2.45). Les bases orthonormales sont donc celles où l’on lit
directement la signature (−, +, +, +) de g.
Exemple : Considérons pour (E , g) l’espace-temps de la relativité restreinte. Soit (x α ) =
(x 0 = ct, x, y, z) un système de coordonnées associé à un repère inertiel et ( ∂α) =
( ∂0 = c −1 ∂t, ∂x, ∂y, ∂z) la base naturelle correspondante. La matrice de g dans cette
base n’est autre que la matrice de Minkowski :
gαβ = ηαβ. (2.64)
Si l’on utilise les coordonnées sphériques (xα′ ) = (x0 = ct, r, θ, ϕ) reliées à (ct, x, y, z)
suivant (2.21), la matrice de passage P α
α ′ vers la nouvelle base naturelle ( ∂α ′) =
( ∂0 = c−1∂t, ∂r, ∂θ, ∂ϕ) se lit sur les formules (2.25), (2.28) et (2.29). Les composantes
de g dans la base ( ∂α ′) s’obtiennent alors à partir de l’Eq. (2.55) ; il vient :
gα ′ β ′ =
⎛
⎜
⎝
−1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 r 2 0
0 0 0 r 2 sin 2 θ
⎞
⎟
⎠ . (2.65)