Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

2.3 Tenseur métrique 25
où δα β désigne le symbole de Kronecker relatif aux indices α et β.
Considérons un changement de base de (eα) → (eα ′) de TP (E ) ( 5 ) ; ce changement de
base est entièrement défini par la donnée de la matrice de passage P α
α ′ qui est la matrice
réelle 4 × 4 telle que
Alors pour tout vecteur v ∈ TP (E ),
v = v α′
α eα ′ = Pα ′ eα. (2.50)
eα ′ = vα′ P α
α ′ eα, (2.51)
d’où l’on déduit la relation entre les composantes de v dans les deux bases :
v α = v α′
P α
α ′ . (2.52)
Remarque : La loi de transformation (2.18) précédemment établie constitue un cas particulier
de la relation ci-dessus, puisque dans le cas de bases naturelles eα = ∂α et
eα ′ = ∂α ′ associées respectivement à des coordonnées (xα ) et (xα′ ),
En reportant (2.52) dans (2.48), il vient
u · v = gαβ u α v β = gαβ u α′
P α ∂xα
α ′ =
∂xα′ . (2.53)
P α
α ′ vβ′ P β
β ′ = P α
α
′ gαβP β
β ′ u α′
v β′
, (2.54)
d’où l’on déduit immédiatement la loi de transformation des composantes de g lors du
changement de base :
soit en notation matricielle :
gα ′ α
β ′ = Pα ′ gαβ P β
β ′ , (2.55)
g ′ = P × g × t P, (2.56)
g ′ désignant la matrice (gα ′ β ′), g la matrice (gαβ), P la matrice (P α
α ′ ) et t P la transposée
de P . On retrouve là l’expression classique de la transformation de la matrice d’une forme
bilinéaire lors d’un changement de base (cf. un cours d’algèbre linéaire).
Remarque : Dans le cas particulier d’un changement de bases naturelles, associé à un
changement de coordonnées (x α ) → (x α′
), on obtient en combinant (2.53) et (2.55) :
gα ′ β ′ = gαβ
∂x α
∂x α′
∂x β
∂x β′ . (2.57)
Dans les livres de relativité plutôt anciens, cette relation est utilisée pour définir
un tenseur 2-fois covariant comme un “tableau” de nombres gαβ qui se transforme
suivant (2.57) lors d’un changement de coordonnées.
5 rappelons l’usage courant (en relativité) de mettre le prime sur l’indice plutôt que sur le symbole qui
porte cet indice : en mathématique on écrirait plutôt (e ′ α) pour désigner la nouvelle base.