Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

24 Cadre géométrique
• de signature (−, +, +, +) signifie qu’il existe une base de l’espace vectoriel TP (E )
telle que g(u, v) s’exprime en fonction des composantes u α et v α de u et v dans
cette base de la manière suivante :
g(u, v) = −u 0 v 0 + u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 . (2.45)
D’après un théorème classique d’algèbre linéaire, le théorème d’inertie de Sylvester,
dans toute autre base où g(u, v) a une écriture diagonale (i.e. qui ne comprend pas
de termes croisés du type ‘u 0 v 1 ’), g(u, v) est une somme algébrique de quatre termes
dont un avec un signe moins et trois avec un signe plus, comme dans (2.45). Cette
propriété ne dépend donc pas de la base où l’on diagonalise g, elle est intrinsèque à
g et constitue sa signature.
Remarque : On trouve aussi dans la littérature la convention (+, −, −, −) pour la signature
de g. En général, cette dernière est utilisée en relativité restreinte, alors
que la signature (−, +, +, +) est utilisée en relativité générale. Les deux conventions
sont bien entendu équivalentes.
Rappelons que les propriétés de forme bilinéaire symétrique non dégénérée caractérisent ce
que l’on appelle un produit scalaire. Par exemple, le produit scalaire classique de l’espace
euclidien à trois dimensions est une forme bilinéaire symétrique non dégénérée de signature
(+, +, +) [cf. (2.43)]. g est donc un produit scalaire sur TP (E ), ce qui justifie la notation
suivante [déjà employée dans l’Eq. (2.44)] :
∀ (u, v) ∈ TP (E ) 2 , u · v := g(u, v) . (2.46)
On dit que les 4-vecteurs u et v sont orthogonaux (on omettra de préciser pour le produit
scalaire g) ssi : u · v = 0.
La forme bilinéaire g définie ci-dessus est appelée tenseur métrique de l’espace-temps
E . On appellera aussi parfois g la métrique de E . Le tenseur métrique définit complètement
la géométrie sur l’espace-temps : lorsque l’on parlera de deux 4-vecteurs orthogonaux, ou
d’un sous-espace orthogonal à un 4-vecteur, il s’agira toujours d’orthogonalité par rapport
au produit scalaire g.
2.3.2 Composantes gαβ du tenseur métrique
Étant donnée une base (e0, e1, e2, e3) de TP (E ), la matrice de g par rapport à cette base
est la matrice (gαβ) définie par
gαβ := g(eα, eβ) . (2.47)
(gαβ) permet d’exprimer le produit scalaire de deux 4-vecteurs u et v en fonction de leurs
composantes (u α ) et (v α ) dans la base (eα) (cf. (2.19)), suivant
u · v = gαβ u α v β . (2.48)
Puisque g est une forme bilinéaire symétrique, (gαβ) est une matrice symétrique. De
plus, puisque g est non-dégénérée, cette matrice est inversible et nous noterons (g αβ ) son
inverse :
g ασ gσβ = δ α β , (2.49)