Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

2.3 Tenseur métrique 23
tenseur de type 0
. Rappelons la dualité canonique TP (E ) 2
∗∗ = TP (E ), qui signifie que
tout vecteur v peut être considéré comme une forme linéaire sur l’espace TP (E ) ∗ suivant
v : TP (E ) ∗ −→ R
ω ↦−→ 〈ω, v〉.
(2.42)
Grâce à cette dualité, on peut dire qu’un vecteur est un tenseur de type 1
. 0
On appelle champ tensoriel la donnée d’un tenseur en chaque point de E . Par convention,
on englobe les champs scalaires dans les champs tensoriels en les qualifiant de champs
tensoriels de type 0
. Ainsi les scalaires sont des tenseurs de valence 0, les vecteurs et
0
les formes linéaires des tenseurs de valence 1, etc...
2.3 Tenseur métrique
2.3.1 Définition
La physique classique non relativiste utilise un espace affine de dimension trois sur R,
que l’on appelle “l’espace”, et manipule les vecteurs v de l’espace vectoriel R 3 associé. Sur
cet espace vectoriel, une structure très importante est le produit scalaire de deux vecteurs :
u · v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 , (2.43)
où les u i et v i sont les composantes de u et v dans une base orthonormale. Le produit
scalaire fonde toute la géométrie. Il permet notamment de définir la norme d’un vecteur,
l’angle entre deux vecteurs et d’introduire des relations d’orthogonalité entre deux sousespaces
(droite et plan, par exemple).
La géométrie de la physique relativiste diffère de celle de la physique classique en deux
points :
1. Comme discuté plus haut, l’espace de base n’est plus R 3 mais une variété E de
dimension quatre (il “incorpore” le temps !) ;
2. Le produit scalaire utilisé n’est plus euclidien : en tout point p ∈ E , il existe une
base de l’espace vectoriel TP (E ) où il s’écrit
u · v = −u 0 v 0 + u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 . (2.44)
Un produit scalaire euclidien ne contiendrait que des signes +, comme dans (2.43).
Plus précisément, en chaque point p ∈ E , on munit l’espace vectoriel tangent TP (E )
d’une forme bilinéaire symétrique non dégénérée, g, de signature (−, +, +, +). Rappelons
que :
• forme bilinéaire signifie que g est une application TP (E ) × TP (E ) −→ R (i.e. qui
à tout couple de 4-vecteurs (u, v) associe un réel g(u, v)), linéaire par rapport à
chacun de ses arguments ;
• symétrique signifie que l’on a g(v, u) = g(u, v) pour tout couple (u, v) ;
• non dégénérée signifie qu’il n’existe pas de vecteur u autre que le vecteur nul
vérifiant : ∀v ∈ TP (E ), g(u, v) = 0 ;