Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

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22 Cadre géométrique Remarque : La définition du vecteur “séparation” entre P et P ′ ne peut en général pas être étendue au cas où P et P ′ ne sont pas infiniment proches, sauf bien entendu dans le cas où la variété E est un espace affine sur R (cas de la relativité restreinte). Étant donné un système de coordonnées (x α ) au voisinage de P , soit (x α 0 ) les coordonnées de P et (x α 0 + dx α ) les coordonnées de P ′ . L’équation (2.35) devient alors −→ dP (f) = f(P ′ ) − f(P ) = ∂f ∂xα dxα = dx α ∂α(f). (2.36) Cette identité montre que les composantes du vecteur −→ dP dans la base naturelle ∂α associée aux coordonnées (x α ) sont 2.2.4 Formes multilinéaires et tenseurs dP α = dx α . (2.37) Une opération fondamentale sur les vecteurs consiste à leur associer un nombre, et ce de manière linéaire. C’est ce que l’on appelle une forme linéaire, autrement dit une application4 ω : TP (E ) −→ R (2.38) v ↦−→ 〈ω, v〉 qui vérifie ∀λ ∈ R, ∀(u, v) ∈ Tp(E ) 2 , 〈ω, λu + v〉 = λ〈ω, u〉 + 〈ω, v〉. (2.39) L’ensemble des formes linéaires sur TP (E ) constitue un espace vectoriel de dimension 4, que l’on appelle espace dual à TP (E ) et que l’on note TP (E ) ∗ . Plus généralement, on appelle forme multilinéaire toute application T : TP (E ) × · · · × TP (E ) −→ R (v1, . . . , vk) ↦−→ T (v1, . . . , vk) (2.40) qui est linéaire par rapport à chacun de ses arguments. Lorsque ceux-ci sont au nombre de deux, on dit que T est une forme bilinéaire. La relativité fait abondamment usage des formes multilinéaires et de leur généralisation : les tenseurs. Un tenseur k fois contravariant et ℓ fois covariant (on dit aussi de type k ) ℓ au point p ∈ E est une application T : TP (E ) ∗ × · · · × TP (E ) ∗ k fois × TP (E ) × · · · × TP (E ) ℓ fois −→ R (ω1, . . . , ωk, v1, . . . , vℓ) ↦−→ T (ω1, . . . , ωk, v1, . . . , vℓ) (2.41) qui est linéaire par rapport à chacun de ses arguments. L’entier k+ℓ est appelée la valence du tenseur. Ainsi, une forme linéaire est un tenseur de type 0 , une forme bilinéaire un 1 4 nous notons 〈ω, v〉 l’image de v par ω plutôt que ω(v).
2.3 Tenseur métrique 23 tenseur de type 0 . Rappelons la dualité canonique TP (E ) 2 ∗∗ = TP (E ), qui signifie que tout vecteur v peut être considéré comme une forme linéaire sur l’espace TP (E ) ∗ suivant v : TP (E ) ∗ −→ R ω ↦−→ 〈ω, v〉. (2.42) Grâce à cette dualité, on peut dire qu’un vecteur est un tenseur de type 1 . 0 On appelle champ tensoriel la donnée d’un tenseur en chaque point de E . Par convention, on englobe les champs scalaires dans les champs tensoriels en les qualifiant de champs tensoriels de type 0 . Ainsi les scalaires sont des tenseurs de valence 0, les vecteurs et 0 les formes linéaires des tenseurs de valence 1, etc... 2.3 Tenseur métrique 2.3.1 Définition La physique classique non relativiste utilise un espace affine de dimension trois sur R, que l’on appelle “l’espace”, et manipule les vecteurs v de l’espace vectoriel R 3 associé. Sur cet espace vectoriel, une structure très importante est le produit scalaire de deux vecteurs : u · v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 , (2.43) où les u i et v i sont les composantes de u et v dans une base orthonormale. Le produit scalaire fonde toute la géométrie. Il permet notamment de définir la norme d’un vecteur, l’angle entre deux vecteurs et d’introduire des relations d’orthogonalité entre deux sousespaces (droite et plan, par exemple). La géométrie de la physique relativiste diffère de celle de la physique classique en deux points : 1. Comme discuté plus haut, l’espace de base n’est plus R 3 mais une variété E de dimension quatre (il “incorpore” le temps !) ; 2. Le produit scalaire utilisé n’est plus euclidien : en tout point p ∈ E , il existe une base de l’espace vectoriel TP (E ) où il s’écrit u · v = −u 0 v 0 + u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 . (2.44) Un produit scalaire euclidien ne contiendrait que des signes +, comme dans (2.43). Plus précisément, en chaque point p ∈ E , on munit l’espace vectoriel tangent TP (E ) d’une forme bilinéaire symétrique non dégénérée, g, de signature (−, +, +, +). Rappelons que : • forme bilinéaire signifie que g est une application TP (E ) × TP (E ) −→ R (i.e. qui à tout couple de 4-vecteurs (u, v) associe un réel g(u, v)), linéaire par rapport à chacun de ses arguments ; • symétrique signifie que l’on a g(v, u) = g(u, v) pour tout couple (u, v) ; • non dégénérée signifie qu’il n’existe pas de vecteur u autre que le vecteur nul vérifiant : ∀v ∈ TP (E ), g(u, v) = 0 ;
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