Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

2.2 L’espace-temps relativiste 21
Il convient de remarquer que les vecteurs ( ∂r, ∂θ, ∂ϕ), tels que donnés par (2.25),
(2.28) et (2.29), ne constituent pas une base orthonormale de R3 pour le produit
scalaire euclidien usuel. En notant (er, eθ, eϕ) la base orthonormale usuelle associée
aux coordonnées sphériques (cf. Fig. 2.5), on a en effet
⎧
⎪⎨ ∂r = er
∂θ = r eθ
(2.30)
⎪⎩ ∂ϕ = r sin θ eϕ
[ces relations seront établies plus bas, cf. Eq. (2.66)]. Au contraire, les vecteurs
( ∂x, ∂y, ∂z) sont bien les vecteurs unitaires usuels :
Déplacements élémentaires sur une variété
∂x = ex, ∂y = ey, ∂z = ez. (2.31)
Tout comme en physique classique, on peut associer à deux points P de P ′ de E
infiniment proches un vecteur “séparation” de la manière suivante. Soit C une courbe
passant par P et P ′ ( 3 ) et P un paramétrage de C tel que
P = P(λ) et P ′ = P(λ + dλ); (2.32)
dλ est ainsi l’accroissement infinitésimal du paramètre λ entre P et P ′ . Définissons alors
le vecteur suivant
−→
dP := v dλ , (2.33)
où v est le vecteur tangent à C au point P et associé au paramétrage P(λ). Puisque
v ∈ TP (E ) et dλ ∈ R, −→
dP appartient à l’espace tangent TP (E ). Appliquons ce vecteur à
un champ scalaire f, en utilisant la définition (2.11) de v(f) :
−→
dP (f) = v(f) dλ = df
dλ
dλ = df
C
= f(P(λ + dλ)) − f(P(λ)). (2.34)
Ainsi
−→
dP (f) = f(P ′ ) − f(P ) . (2.35)
Cette égalité montre que le vecteur −→
dP ne dépend que des points P et P ′ , autrement
dit est indépendant du choix du paramétrage P(λ) de la courbe reliant P à P ′ . Nous
l’appellerons déplacement élémentaire (ou déplacement infinitésimal) du point P en P ′ .
Son interprétation en terme d’opérateur sur les fonctions est très claire au vu de (2.35) :
−→
dP fait correspondre à chaque champ scalaire sa variation entre les points P et P ′ .
3 remarquons que puisque P et P ′ sont infiniment proches, la portion de C entre P et P ′ est déterminée
de manière unique