Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

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204 Solutions des problèmes La dérivée de Fermi-Walker de v est donc orthogonale à u si v l’est. Par contre, u · ∇u v = ∇u (u · v) =0 −v · ∇u u = −a · v, (C.32) =a avec, dans le cas général, a · v = 0 (a et v sont deux vecteurs dans l’hyperplan normal à u ; ils n’ont a priori pas de raison d’être orthogonaux entre eux). La dérivée covariante ∇u ne préserve donc pas l’orthogonalité par rapport à la ligne d’univers, contrairement à la dérivée de Fermi-Walker. 7 On a, d’après (C.24), 1 d c dτ (v · w) = ∇u(v · w) = ∇u v · w + v · ∇u w = [ D FW u v −(u · v) a + (a · v) u] · w + v · [ D =0 FW u w −(u · w) a + (a · w) u] =0 = −(u · v) (a · w) + (a · v) (u · w) − (u · w) (a · v) + (a · w) (u · v) = 0. (C.33) Le produit scalaire v · w est donc constant le long de L . 8 ⊥u est clairement un opérateur linéaire. Il vérifie de plus et, pour tout vecteur v orthogonal à u, ⊥u(u) = u + (u · u) =−1 ⊥u(v) = v + (u · v) =0 u = 0, (C.34) u = v. (C.35) L’opérateur linéaire ⊥u se réduit donc à l’identité dans l’hyperplan normal à u et s’annule dans la direction de u. Ces deux propriétés montrent qu’il s’agit du projecteur orthogonal sur l’hyperplan normal à u (espace local de repos de l’observateur O). On a, pour tout vecteur v, ⊥u(v) = v + (u · v) u = v α ∂α + (uβv β ) u α ∂α = δ α β + u α β uβ v ∂α, (C.36) d’où 9 On a, pour tout vecteur v orthogonal à u, D FW u v = ∇u v + (u · v) a − (a · v) u =0 ⊥ α β = δ α β + u α uβ. (C.37) = ∇u v − (∇u u · v) u = ∇u v − [∇u (u · v) =0 −u · ∇u v] u = ⊥u (∇u v) . (C.38) En particulier, on retrouve la propriété de préservation de l’orthogonalité à u établie à la question 6.
Bibliographie Ouvrages d’introduction : [1] M. Boratav & R. Kerner : Relativité, Ellipses — Edition Marketing, Paris (1991). [2] S.M. Carroll : Spacetime and Geometry : An Introduction to General Relativity, Addison Wesley (Pearson Education), San Fransisco (2004) ; http://pancake.uchicago.edu/ ∼ carroll/grbook/ [3] R. Hakim : Gravitation relativiste, InterEditions / CNRS Éditions, Paris (1994) ; réédité par EDP Sciences / CNRS Éditions, Les Ulis (1998). [4] J.B. Hartle : Gravity : An Introduction to Einstein’s General Relativity, Addison Wesley (Pearson Education), San Fransisco (2003) ; http://wps.aw.com/aw hartle gravity 1/ [5] J. Heyvaerts : Astrophysique : étoiles, univers et relativité, Dunod, Paris (2006). [6] M. Ludvigsen : La relativité générale : une approche géométrique, Dunod, Paris (2000). Introduction à la géométrie différentielle dans le cadre newtonien : [7] N. Deruelle & J.-P. Uzan : Mécanique et gravitation newtoniennes, Vuibert, Paris (2006). Livres de cosmologie avec introduction à la relativité : [8] F. Bernardeau : Cosmologie : des fondements théoriques aux observations, EDP Sciences / CNRS Éditions, Les Ulis (2007). [9] P. Peter & J.-P. Uzan : Cosmologie primordiale, Belin, Paris (2005). Ouvrages avancés : [10] S.W. Hawking & G.F.R. Ellis : The large scale structure of space-time, Cambridge University Press, Cambridge (1973). [11] C.W. Misner, K.S. Thorne, & J.A. Wheeler : Gravitation, Freeman, New York (1973). [12] E. Poisson : A Relativist’s Toolkit, The Mathematics of Black-Hole Mechanics, Cambridge University Press, Cambridge (2004) ; http://www.physics.uoguelph.ca/poisson/toolkit/
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